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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4970
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. April, 2005 - 18:05: | 
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Hi allerseits
Da die Pyramiden so schön im Trend liegen, folgen noch zwei
einschlägige Aufgaben.
1.Aufgabe.
Gegeben ist eine quadratische Pyramide S ABCD.
Die Spitze S liegt auf der zur Grundflächenebene senkrechten Geraden
durch die Ecke A.
Die Kante SA ist doppelt so lang wie die Quadratseite.
Man lege durch die Kante BC eine Ebene E. welche die Pyramide in
zwei Teilkörper zerlegt, deren Volumina sich wie 1:3 verhalten.
Dabei bildet der kleinere Volumenteil selbst eine Pyramide.
Man berechne den Neigungswinkel alpha der Schnittebene bezüglich
der Ebene ABC.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1257
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. April, 2005 - 18:59: |
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Hi Megamath
o.B.d.A. würde ich mal die Pyramide so in ein Koord. system legen:
A(0|0|0)
B(a|0|0)
C(a|a|0)
D(0|a|0)
S(0|0|2a)
V = a^2 * 2a / 3 = 2/3 * a^3
der größere Teil ist ein schräg abgesägtes Dreiecks"dings", welches mit einer 3ecks-Pyramide zu einem Dreicksprisma ergänzt werden kann;
die Ebene E hat die Schnittpunkt G und H mit der yz-Ebene
G(0|0|2a*t) mit t aus ]0;1[
H(0|a*(1-t)|2a*t)
das Volumen des 3cks"dings" lautet: a^3*t - a^2*t*a*t/3, und das sind 3/4 des Pyramidenvolumens
a^3*t - a^2*t*a*t/3 = 3/4 * 2/3 * a^3
es bleibt eine Gleichung in t
t - t*t/3 = 1/2
t^2 - 3t + 3/2 = 0
3/2 +/- sqrt( 9/4 - 3/2 )
3/2 +/- sqrt( 3/4 )
3/2 +/- sqrt( 3 )/2
t = (3-sqrt(3))/2 = tan(alpha)/2 =>
tan(alpha) = 3-sqrt(3) => alpha ~ 0,903 rad
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4972
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. April, 2005 - 20:17: |
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Hi Waltwr
Bravo, alles ok !
MfG
H.R.Moser |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4974
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. April, 2005 - 12:38: |
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Hi Walter
Ich möchte Dir noch meine Lösungsmethode vorführen,
nicht etwa darum, weil ich sie besser finde als Deine,
sondern zu reinen Instruktionszwecken; es ist immer
aufschlussreich zu erfahren, welches die Hintergedanken
des Aufgabenstellers waren.
Im vorliegenden Fall weicht meine Methode nicht wesentlich
von der Deinigen ab.
Die Schnittebene schneide die Kante SA im Punkt H
und die Kante SD im Punkt J.
Dann erscheint der Winkel alpha als Winkel ABH
mit Scheitel in B.
Die Kante SB schneide HJ im Punkt K.
Wir setzen AH = x, KJ = y und tan (alpha) = u.
V sei das Volumen der ganzen Pyramide,
V1 das Volumen der Pyramide S BCHJ,
R das Volumen des Restkörpers ABCDHJ.
Es gilt:
x = a * u,
y = ½ x = ½ a * u
V = 2 a^3 / 3
R = ½ x*a *a – 1/3 * ½ x * y * a = ½ a^3 u * [1 – u/6]
Nach Voraussetzung gilt:
V1 / R = 1/3, also
(V - R) / R = 1/3
V/R – 1 = 1/3
somit:
V/R = 4/3.
Wir setzen die Werte ein und erhalten die
quadratische Gleichung in u:
u^2 – 6 u + 6 = 0
Daraus:
u = 3 – sqrt (3)
Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da
die Bedingung u < 2 gilt.
Für den Winkel alpha erhalten wir im Gradmaß das Ergebnis:
alpha ~ 51,74°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1258
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. April, 2005 - 13:47: |
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Hallo Megamath
Deine Lösung verwirrt mich, ist bei Dir HJ keine Parallele zu DA und liegt in der Ebene DSA?
Hätte gerne gewußt wo bei Dir der Schnittpunkt K liegt?
arctan(3-sqrt(3)) = winkel ABH < winkel ABS = arctan(2) 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4975
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. April, 2005 - 14:50: |
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Hi Walter
Ich komme auf die Angelegenheit zurück,
sobald ich
dazu Zeit finde!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4978
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. April, 2005 - 19:28: |
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Hi Walter
Wenn wir das Pferd am Schwanz aufzäumen, stellen wir
leicht fest, dass unsere Ergebnisse übereinstimmen.
Im Arcusmass lautet mein Ergebnis
alpha ~ 0,9029990 ; dies entspricht Deiner Angabe.
Der Winkel alpha erscheint als Winkel ABH in der
Neigugswinkelebene SAB, welche zur Schnittgeraden
BC der Schnittebene und der Grundflächenebene
senkrecht steht.
Man sieht leicht ein, dass alpha kleiner als der Winkel
beta bei B im Dreieck ABS sein muss;
da tan (beta) = 2 gilt, heisst das, dass für tan (alpha)
die Ungleichung tan (alpha) < 2 gelten muss.
Dies wäre für die zweite Lösung mit 3 + sqrt 3 ~ 4,73
nicht der Fall.
Zu Deinen weiteren Fragen:
In meine Formulierungen bezüglich der Punkte
H , J und K haben sich Fehler eingeschlichen.
Ich versuche, den betreffenden Abschnitt zu korrigieren:
Er lautet neu:
Die Schnittebene schneide die Kante SA im Punkt H
und die Kante SD im Punkt K;
HK ist zu BC parallel.
Dann erscheint der Winkel alpha als Winkel ABH
mit Scheitel in B.
Ergänzung zum Rechteck:
Der Punkt J ist eine Ecke im Rechteck ADJH
Wir setzen AH = x, KJ = y und tan (alpha) = u.
Wir stellen leicht fest (Ähnlichkeit), dass y = ½ x gilt.
V sei das Volumen der ganzen Pyramide,
V1 das Volumen der Pyramide S BCKH,
R das Volumen des Restkörpers ABCDHK.
R kann als Differenz des Prismenvolumens
ABH DCJ und des Tetraedervolumens
C DKJ dargestellt werden.
Es gilt:
x = a * u,
y = ½ x = ½ a * u
V = 2 a^3 / 3
R = ½ x*a *a – 1/3 * ½ x * y * a = ½ a^3 u * [1 – u/6]
usw.
In einem weiteren Beitrag werde ich zeigen, wie man R
als Volumen eines Prismatoids auffassen und berechnen
kann.
Diese Angaben sollten Einiges klären.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4979
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 09:02: |
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Hi Walter
In einem weiteren Beitrag zeige ich nun, wie man R
als Volumen eines Prismatoids auffassen und berechnen
kann.
Zuerst soll der Begriff des Prismatoids erklärt werden:
liegen alle Ecken eines Polyeders in zwei parallelen
Grenzebenen, der Grundfläche (Inhalt G) und der
Deckfläche (Inhalt D), so liegt ein Prismatoid vor.
Jeder zur Grundfläche parallele Schnitt erzeugt einen
Parallelschnitt.
Die Mittelparallelebene der beiden Begrenzungsflächen
erzeugt den so genannten Mittelschnitt, Inhalt M.
Der Abstand der beiden parallelen Begrenzungsflächen ist
die Höhe h des Prismatoids.
Für ein Prismatoid gilt die Volumenformel
V = h / 6 * [G + 4 M + D]
Die Deckfläche kann zu einer Strecke degenerieren,
die parallel zur Grundfläche liegt.
Es liegt dann ein Keilkörper vor.
Nach wie vor gilt die erwähnte Volumenformel;
es ist daselbst D = 0 zu setzen!
In unserem Beispiel liegt beim Restkörper genau dieser
Sonderfall eines Prismatoids vor.
Die Ecken sind ABCD (Grundfläche G =a^2)
Bei der Berechnung des Volumens R muss eine besondere
Sorgfalt auf die Ermittlung des Mittelschnitts M gerichtet
werden!
Wir setzen bei den Berechnungen o.B.d.A. a = 1 an.
Die in einer meiner früheren Arbeiten mit x bezeichnete
Strecke x = a tan (alpha) wird zu x = tan(alpha).
Mit der Abkürzung u für tan(alpha) kommt dann schließlich
x = u.
Dieser Wert stimmt mit der Höhe h des Prismatoids überein.
Für G entsteht einfach G = 1
Der Mittelschnitt ist ein Rechteck mit den Seiten
½ und 1 – u / 4.
Man sieht dies am besten, wenn man die senkrechte
Projektion des Mittelschnitts auf die Grundflächenebene
betrachtet.
Diese Projektion erscheint in wahrer Größe, da die
Mittelschnittebene parallel zur Projektionsebene ABCD verläuft.
Somit ist M = ½* (1 - u/4) , also 4 M = 2 – ½ u
Mit D = 0 sind alle notwendigen Daten vorhanden.
Wir erhalten:
V = R = u / 6 * (1 + 2 – ½ u) = ½ u * (1 – u / 6),
wie in meinem ersten Beitrag.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1260
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 09:19: |
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Hallo Megamath ,
Hier hab' ich was zum Prismatoid gefunden,
Prismatoid
meine 3dim-Vorstellung steigt dabei aus, was das jetzt wirklich ist 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4981
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 09:40: |
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Hi Walter
Besten Dank für Deine Mitteilung.
Im vorliegenden Fall des Keilkörpers funktioniert das Anschauungsvermögen nicht schlecht.
In andern Fällen wird es tatsächlich schwieriger.
Zum Prismatoid gibt es später hier noch eine Zugabe!
MfG
H.R.Moser |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4987
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 15:57: |
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Hi Walter,
Als Voranzeige das Folgende:
1.
Eine kleine Arbeit zum Prismatoid wird unter einem neuen Titel
„Prismatoide“ demnächst, in Fortsetzungen, erscheinen.
2.
Als besonderer Anlass findet im Forum vom 15.April bis 29.Aüril
ein kleines Festival statt, wie jedes Mal in den letzten paar Jahren um
diese Zeit.
In diese Zeit fällt mein Geburtstsg, getreulich nach der Formel
„ Übergang von n auf n + 1“ mit respektablem n.
Zusätzlich wird Nummer 5000 meiner Beiträge in ZR erscheinen.
Zur Feier sollen vermischte Aufgaben zum Prismatoid gestellt und
hoffentlich auch gelöst werden.
Ferner ist vorgesehen, das Volumen einer Hyperkugel im vierdimensionalen
Raum auf verschiedene Arten zu berechnen, in der Meinung, das gehöre zur Allgemeinbildung.
Wenn es hoch kommt, wagen wir uns auch an die Berechnung
der Oberfläche einer solchen Hyperkugel.
Bis dann
H.R.Moser,megamath |
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