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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 585
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. April, 2005 - 18:43: | 
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hallo, es geht um folgende funktion:
f(x)= e^(|x|)/(e^x+1)
die funktion ist auf ganz R definiert und soll an den rändern des definitionsbereichs untersucht werden! begründen sie, dass die funktion stetig ist!
also für lim x->+unendlich = 1(+)
und für lim x->-unendlich = 1(-)
ich habe die funktion durch e^x geteilt und komme dann auf 1/(1+1/e^x).
?
detlef |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 557
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. April, 2005 - 21:56: |
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Hi,
f ist aus lauter stetigen Funktionen zusammengesetzt und daher wieder stetig, zumal der Nenner immer größer als 1 ist. Der Grenzwert für x->+oo ist 1, für x->-oo ist er +oo (du hast die Betragsstriche vergessen)
sotux |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 586
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 10:26: |
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hmm wie meinst du das, wo habe ich die betragsstriche vergessen?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1784
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 10:34: |
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Hallo Detlef
Im letzten Satz schreibst du, dass du durch ex geteilt hast(Zähler und Nenner). Im Zähler stehen aber noch Betragsstriche und dann ist eben nicht
e|x|/ex=1.
Dadurch kommt auch dein Fehler beim Grenzübergang x->-¥ zustande. Dabei wird nämlich e|x| beliebig groß und ex verschwindet.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 587
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 11:29: |
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axo ok, das stimmt! vielen dank!
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 588
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 14:39: |
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wie differenziere ich so eine betragsfunktion denn?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1785
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 15:34: |
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Hallo Detlef
Wir nehmen mal das Beispiel f(x)=e|x|. Ist x³0, so gilt e|x|=ex, sonst gilt e|x|=e-x.
Wir haben also im Prinzip eine Abschnittsweise definierte Funktion.
Ist x>0, so ist die Ableitung also wieder ex. Für x<0 ist die Ableitung -exp-x. Der einzige problematische Punkt ist der Nullpunkt. Hier benutzen wir am besten mal die Definition der Ableitung:
lim(h->0) (f(0+h)-f(0))/h
=lim(h->0) (e|h|-1)/h
Der Grenzwert existiert nicht:
Lassen wir h von rechts gegen Null laufen, so gilt
lim(h->0+) (e|h|-1)/h
=lim(h->0+) (S¥ k=0(hk/k!)-1)/h
=lim(h->0+) S¥ k=1(hk-1/k!)
=1
Analog
lim(h->0-) (e|h|-1)/h
=lim(h->0-) (S¥ k=0((-h)k/k!)-1)/h
=lim(h->0-) (S¥ k=0((-1)k(h)k/k!)-1)/h
=lim(h->0+) S¥ k=1(-1)k(hk-1/k!)
=-1
Damit ist f im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Insgesamt also f'(x)=ex für x>0 und f'(x)=-e-x für x<0.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 589
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 17:05: |
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wieso gilt denn e^|x|=e^(-x) für x<0, es ist doch der betrag??!
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1786
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 17:49: |
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Hi Detlef
So ist der Betrag definiert
|x|=x für x³0
|x|=-x für x<0
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 590
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 10:21: |
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achja ist ja logisch,wenn dann x<0 ist, dann wird es ja wieder positiv!
also muss ich dann die funktionen immer für x<0 und für x>0 ableiten?
aber das mit x=0 habe ich nicht verstanden!
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1788
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 11:23: |
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Hallo Detlef
Genau, für x<0 und x>0 darfst du ganz normal ableiten wenn du obige Definition benutzt. Probleme bereitet halt die "Schnittstelle" x=0. Am besten du schaust dir mal die Funktion f(x)=|x| an. Die Ableitung gibt ja im Prinzip immer die Steigung der Tangenten an. Es ist klar, dass für x>0 die Ableitung 1 ist und für x<0 ist sie -1. Nur was machst du jetzt im Nullpunkt? Dort läßt sich die Ableitung offenbar nicht definieren, weil da die zwei verschiedenen Steigungen "aufeinandertreffen".
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 593
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 12:18: |
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ja das ist verständlich, aber ich versteh deinen weg dann weiter nicht??
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 12:22: |
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was ist exp?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1790
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 12:32: |
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Hallo Detlef
exp steht für die Exponentialfunktion. Denk dir oben einfach das "xp" weg, hatte mich verschrieben.
Und dann weiter unten hatte ich einfach versucht die Ableitung an der Stelle 0 zu berechnen. Allgemein ist die Ableitung an der Stelle x ja definiert durch
f'(x)=lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h
Bei uns also x=0.
Danach habe ich gezeigt, dass der Grenzwert nicht existiert. Dabei bin ich einmal davon ausgegangen, dass ich mich von rechts dem Nullpunkt nähere, das heißt h ist positiv und |h| kann durch h ersetzt werden. Bei der zweiten Rechnung bin ich dann davon ausgegangen, dass ich mich von links dem Nullpunkt nähere. Dort kann dann |h| durch -h ersetzt werden.
Die Summenzeichen oben kommen einfach von der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, also
ex=S¥ k=0 xk/k!
Der Rest ist nur noch Rechnerei, wobei du beachten musst, dass Potenzreihen auf ihrem Konvergenzintervall stetig sind(D.h. wenn h->0 läuft darf man den Grenzwert berechnen, indem man einfach h=0 einsetzt).
Nun kriegen wir bei der ganzen Rechnung aber zwei verschiedene Grenzwerte raus, je nachdem von wo wir uns dem Nullpunkt nähern. Damit existiert der allgemeine Grenzwert für h->0 (egal von wo man sich dem Nullpunkt nähert) nicht.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 13:18: |
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alles klar, danke für die sehr gute erklärung!
detlef |
