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Extremalaufgabe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Sonstiges » Extremalaufgabe « Zurück Vor »

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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 495
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 12:44:   Beitrag drucken

hallo,
es geht um folgende funktion f(x) = 2x/(t²+x²)

P(u/v) sei ein beliebiger punkt der kurve k im ersten feld. das dreieck mit den ecken O(0/0),Q(u/0),P(u/v) erzeugt bei rotation um die x-achse einen kegel. bestimme P so, dass der rauminhalt dieses kegels extremal wird. untersuche, ob es sich um ein maximum oder ein minimm handelt.

ähm muss ich nun zwei bedingungen aufstellen, also V = 1/3*pi*r²*h und noch was? und dann zusammenfassen die gleichungen und ableiten? war das so?

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2686
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:24:   Beitrag drucken

v soll wohl f(u) sein
dann
ist die Kegelhöhe u, der Radius f(u),
die
Funktion, deren Extremum zu bestimmen ist

also U(u) = r²*h = [f(u)]²*u
U'(u) = 0 = 2*f(u)*f'(u)*u - [f(u)]²

U'(u) = f(u)*[ 2*u*f'(u) - f(u)] = 0
f(u) = 0 ist sicher nicht gesucht
also
2*u*f'(u) = f(u)
4*u*(t²+u²-2u²)/(t²+u²)² = 2*u/(t²+u²)

2*(t²-u²)/(t²+u²) = 1
-2u² + 2t² = t²+u²
3u² - t² = 0
u = &#+-;t*Wurzel(3)/3
da
eine Lösung im "1ten Feld" gesucht ist kommt nur
u = +t*Wurzel(3)/3 infrage.

Es kann nur ein Maximum sein denn für |u| gegen oo geht U(u) gegen 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 496
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:41:   Beitrag drucken

hmm nicht so ganz klar..

also das volumen eines kegels ist:
1/3*pi*r²*h = 1/3*pi*f(u)²*u

braucht man jetzt nicht noch eine bedingung? hmm? versteh das alles noch nicht so ganz!

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2687
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:49:   Beitrag drucken

keine weitere als u > 0. Es ist ja alles
praktisch direkt gegeben.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 497
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:58:   Beitrag drucken

hmm..
ist das jetzt so, dass ich die ausgangsfunktion integrieren muss und dann mit der volumenformel auf u und v schließen?


detlef
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1280
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 09:51:   Beitrag drucken

Hi Friedrich,

ich verstehe deine Rechnung auch nicht so ganz.

Woher kommt bei der oben beim anwenden der Produktregel auf u*[f(u)]^2 das Minuszeichen?

Wei kommst du auf s und t?


Gruß N.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2689
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 10:26:   Beitrag drucken

Danke Niels,
ja, das ist Unsinn :-(
( da war ich in Gedanken wohl schon bei f')

also dann

U'(u) = 2*f(u)*f'(u)*u + f²(u)

U'(u) = f(u)*[2*u*f'(u) + f(u)] = 0

2*u*f'(u) = -f(u)

4*u*(t²+u² - 2u²)/(t²+u²)² = - 2u/(t²+u²)

2*(t²-u²) = -(t²+u²)
t² = u²
u = t

eine Variable "s" sehe ich in meinen
Rechnungen nicht.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1282
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 11:21:   Beitrag drucken

Hi Friedrich,

sorry,

ich meinte u und t...

also das u ist klar,

aber woher kommt das t?

icht dacht [f(u)]^2=u^2+t^2

wobei t=Strecke(OP) wäre oder so....

also wie du das t da reinfummelst und aus der 2u plötzlich 4u werden bleibt mir ein Rätsel...ö

bitte genauer Erklären, ich denke das ist auch etwas was Detlef nicht versteht...

Gruß N.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2690
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 11:49:   Beitrag drucken

f(x) = 2x/(t²+x²) => f(u) = 2u/(t²+u²)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1283
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 12:06:   Beitrag drucken

ach so, das f ist ja sogar angegeben...

habe ich schlichtweg überlesen....dann gibt das ja alles viel mehr sinn...

so jetzt ist alles klar.

Ich hoffe Detlef hat jetzt auch alles verstanden.
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 498
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 12:54:   Beitrag drucken

nee mir ist die vorgehensweise völlig unklar...
welche funktion muss ich einsetzen und in was? was muss ich ableiten?

also das volumen eines kegels ist:
1/3*pi*r²*h = 1/3*pi*f(u)²*u
wie mache ich weiter?

detlef
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 499
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 12:55:   Beitrag drucken

wo hast du denn mit rotation gearbeitet?

detlef
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1284
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:00:   Beitrag drucken

am Anfang wo man h=u und r=f(u) setzt.

Da steckt die Rotationskörperformel drinn.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1285
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:12:   Beitrag drucken

Also nochmal zur Erklärung von Friedrichs Rechnung:

Du hast O(0|0), Q(u|0) und P(u|v=f(u))

und

f(x)=2x/(t^2 + x^2)

Volumen vom Kegel:

V(u)=(1/3)*pi*h*r^2

setze h=u und r=v=f(u)

V(u)=(1/3)*pi*u*[f(u)]^2

da steckt jetzt die Rotatiosformel für das Volumen drinn.

Nun muss man um Extremwert auszurechnen die
Funktion ableiten und die Ableitung gleich Null setzen. Dabei muss man Produkt bzw. Kettenregel reinstecken. Es folgt:

V'(u)=(1/3)*pi*[2u*f(u)*f'(u)+[f(u)]^2]

Nun noch ein f(u) ausklammern und den ganzen Term Null setzen.

V'(u)=(1/3)*pi*f(u)*[2u*f'(u)+f(u)]=0

Da steht nun ein Produkt. Ein Produkt ist immer dann Null wenn einer der Faktoren Null ist.

(1/3)*pi*f(u) ist mit Sicherheit nicht Null, weil dann ja f(u)=0 sein müsste. Dann würde aber die Aufgabe keinen Sinn machen (Volumen wäre ja Null).

Also bleibt nur noch die Klammer übrig. Ab hier spielen also die (1/3)pi die man für das Kegelvolumen bruacht keine Rolle mehr.

die muss man aber nachher beachten wenn man das maximale Volumen ausrechnen möchte. Friedrich hat ja nur den Extremwert bestimmt- nicht das maximale Volumen!!!

also

2u*f'(u)+f(u)=0

so und ab hier kommst du wohl hoffentlich alleine weiter...

Gruß N.
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 500
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:24:   Beitrag drucken

axo..super, vielen dank! also muss man die rotation nicht extra machen, weil das schon in der formel drinsteckt?

detlef
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 501
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:51:   Beitrag drucken

ähm..und die extremstellen muss ich dann in welche formel einsetzen? muss ich das dann noch rotieren lassen oder reicht das, wenn ich das in
V(u)=1/3*pi*u*f(u)² einsetze?

die extremstellen sind aber auch nicht so leicht...
2*u*(2t²-2u²)/(t²+u²)²+2*u/(t²+u²)
...
und dann irgendwann auf 6t²+2u²=0


detlef
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1286
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 14:30:   Beitrag drucken

wieso?

wir haben doch eine hübsche Lösung dank Friedrich:


schau dir die Funktion an- besser die Funktionsschar.

mal für t=1,t=2,t=3

wie sehen dann O,P,Q aus?

Gruß N.
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 502
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 17:14:   Beitrag drucken

hmm ich muss doch jetzt gucken wo das extremum ist und dann kann ich das volumen bestimmen oder nicht?

detlef
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1287
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 23:11:   Beitrag drucken

ja, wir haben doch u bestimmt.

t=u ist die Lösung.
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 503
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 11:46:   Beitrag drucken

hmm inner schule haben wir sqrt(3)*t= u heraus?!?

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2692
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 13:03:   Beitrag drucken

ja, stimmt also nochmals ab meiner
3tletzen Zeile vom 8.Mrz,11:26

2*(t²-u²) = -(t²+u²)
2t² - 2u² = -t²-u² ... | +t²+2u²
3t² = u²
sqrt(3)*t = u
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1289
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 13:48:   Beitrag drucken

upps,

den Fehler hatte ich wohl bei Friedrich übersehen- soory
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 504
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 15:16:   Beitrag drucken

ok, jetzt ist alles verstanden!

danke

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