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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 495 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 12:44: |
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hallo, es geht um folgende funktion f(x) = 2x/(t²+x²) P(u/v) sei ein beliebiger punkt der kurve k im ersten feld. das dreieck mit den ecken O(0/0),Q(u/0),P(u/v) erzeugt bei rotation um die x-achse einen kegel. bestimme P so, dass der rauminhalt dieses kegels extremal wird. untersuche, ob es sich um ein maximum oder ein minimm handelt. ähm muss ich nun zwei bedingungen aufstellen, also V = 1/3*pi*r²*h und noch was? und dann zusammenfassen die gleichungen und ableiten? war das so? detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2686 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:24: |
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v soll wohl f(u) sein dann ist die Kegelhöhe u, der Radius f(u), die Funktion, deren Extremum zu bestimmen ist also U(u) = r²*h = [f(u)]²*u U'(u) = 0 = 2*f(u)*f'(u)*u - [f(u)]² U'(u) = f(u)*[ 2*u*f'(u) - f(u)] = 0 f(u) = 0 ist sicher nicht gesucht also 2*u*f'(u) = f(u) 4*u*(t²+u²-2u²)/(t²+u²)² = 2*u/(t²+u²) 2*(t²-u²)/(t²+u²) = 1 -2u² + 2t² = t²+u² 3u² - t² = 0 u = +-;t*Wurzel(3)/3 da eine Lösung im "1ten Feld" gesucht ist kommt nur u = +t*Wurzel(3)/3 infrage. Es kann nur ein Maximum sein denn für |u| gegen oo geht U(u) gegen 0 Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 496 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:41: |
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hmm nicht so ganz klar.. also das volumen eines kegels ist: 1/3*pi*r²*h = 1/3*pi*f(u)²*u braucht man jetzt nicht noch eine bedingung? hmm? versteh das alles noch nicht so ganz! detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2687 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:49: |
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keine weitere als u > 0. Es ist ja alles praktisch direkt gegeben. Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 497 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:58: |
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hmm.. ist das jetzt so, dass ich die ausgangsfunktion integrieren muss und dann mit der volumenformel auf u und v schließen? detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1280 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 09:51: |
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Hi Friedrich, ich verstehe deine Rechnung auch nicht so ganz. Woher kommt bei der oben beim anwenden der Produktregel auf u*[f(u)]^2 das Minuszeichen? Wei kommst du auf s und t? Gruß N. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2689 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 10:26: |
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Danke Niels, ja, das ist Unsinn ( da war ich in Gedanken wohl schon bei f') also dann U'(u) = 2*f(u)*f'(u)*u + f²(u) U'(u) = f(u)*[2*u*f'(u) + f(u)] = 0 2*u*f'(u) = -f(u) 4*u*(t²+u² - 2u²)/(t²+u²)² = - 2u/(t²+u²) 2*(t²-u²) = -(t²+u²) t² = u² u = t eine Variable "s" sehe ich in meinen Rechnungen nicht. Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1282 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 11:21: |
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Hi Friedrich, sorry, ich meinte u und t... also das u ist klar, aber woher kommt das t? icht dacht [f(u)]^2=u^2+t^2 wobei t=Strecke(OP) wäre oder so.... also wie du das t da reinfummelst und aus der 2u plötzlich 4u werden bleibt mir ein Rätsel...ö bitte genauer Erklären, ich denke das ist auch etwas was Detlef nicht versteht... Gruß N. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2690 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 11:49: |
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f(x) = 2x/(t²+x²) => f(u) = 2u/(t²+u²) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1283 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 12:06: |
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ach so, das f ist ja sogar angegeben... habe ich schlichtweg überlesen....dann gibt das ja alles viel mehr sinn... so jetzt ist alles klar. Ich hoffe Detlef hat jetzt auch alles verstanden. |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 498 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 12:54: |
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nee mir ist die vorgehensweise völlig unklar... welche funktion muss ich einsetzen und in was? was muss ich ableiten? also das volumen eines kegels ist: 1/3*pi*r²*h = 1/3*pi*f(u)²*u wie mache ich weiter? detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 499 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 12:55: |
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wo hast du denn mit rotation gearbeitet? detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1284 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:00: |
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am Anfang wo man h=u und r=f(u) setzt. Da steckt die Rotationskörperformel drinn. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1285 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:12: |
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Also nochmal zur Erklärung von Friedrichs Rechnung: Du hast O(0|0), Q(u|0) und P(u|v=f(u)) und f(x)=2x/(t^2 + x^2) Volumen vom Kegel: V(u)=(1/3)*pi*h*r^2 setze h=u und r=v=f(u) V(u)=(1/3)*pi*u*[f(u)]^2 da steckt jetzt die Rotatiosformel für das Volumen drinn. Nun muss man um Extremwert auszurechnen die Funktion ableiten und die Ableitung gleich Null setzen. Dabei muss man Produkt bzw. Kettenregel reinstecken. Es folgt: V'(u)=(1/3)*pi*[2u*f(u)*f'(u)+[f(u)]^2] Nun noch ein f(u) ausklammern und den ganzen Term Null setzen. V'(u)=(1/3)*pi*f(u)*[2u*f'(u)+f(u)]=0 Da steht nun ein Produkt. Ein Produkt ist immer dann Null wenn einer der Faktoren Null ist. (1/3)*pi*f(u) ist mit Sicherheit nicht Null, weil dann ja f(u)=0 sein müsste. Dann würde aber die Aufgabe keinen Sinn machen (Volumen wäre ja Null). Also bleibt nur noch die Klammer übrig. Ab hier spielen also die (1/3)pi die man für das Kegelvolumen bruacht keine Rolle mehr. die muss man aber nachher beachten wenn man das maximale Volumen ausrechnen möchte. Friedrich hat ja nur den Extremwert bestimmt- nicht das maximale Volumen!!! also 2u*f'(u)+f(u)=0 so und ab hier kommst du wohl hoffentlich alleine weiter... Gruß N. |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 500 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:24: |
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axo..super, vielen dank! also muss man die rotation nicht extra machen, weil das schon in der formel drinsteckt? detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 501 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 13:51: |
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ähm..und die extremstellen muss ich dann in welche formel einsetzen? muss ich das dann noch rotieren lassen oder reicht das, wenn ich das in V(u)=1/3*pi*u*f(u)² einsetze? die extremstellen sind aber auch nicht so leicht... 2*u*(2t²-2u²)/(t²+u²)²+2*u/(t²+u²) ... und dann irgendwann auf 6t²+2u²=0 ?ß detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1286 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 14:30: |
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wieso? wir haben doch eine hübsche Lösung dank Friedrich: schau dir die Funktion an- besser die Funktionsschar. mal für t=1,t=2,t=3 wie sehen dann O,P,Q aus? Gruß N. |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 502 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 17:14: |
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hmm ich muss doch jetzt gucken wo das extremum ist und dann kann ich das volumen bestimmen oder nicht? detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1287 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 23:11: |
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ja, wir haben doch u bestimmt. t=u ist die Lösung. |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 503 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 11:46: |
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hmm inner schule haben wir sqrt(3)*t= u heraus?!? detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2692 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 13:03: |
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ja, stimmt also nochmals ab meiner 3tletzen Zeile vom 8.Mrz,11:26 2*(t²-u²) = -(t²+u²) 2t² - 2u² = -t²-u² ... | +t²+2u² 3t² = u² sqrt(3)*t = u Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1289 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 13:48: |
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upps, den Fehler hatte ich wohl bei Friedrich übersehen- soory |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 504 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 15:16: |
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ok, jetzt ist alles verstanden! danke |