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Volumen einer Pyramide

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Volumen einer Pyramide « Zurück Vor »

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Sugerlilly (Sugerlilly)
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Benutzername: Sugerlilly

Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 14:02:   Beitrag drucken

Die vier Punkte A(-7/-5/2), B(1/9/-6), C(5/-2/-1),
D(-2/0/9) seien die Ecken einer dreiseitigen Pyramide.

Berechne das Volumen V der Pyramide.

Also die Formel lautet ja 1/3*G*h
Die Angabe G habe ich schon: 45,78

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich mit den Angaben und der Vektorrechnungen h ausrechne bzw. das ganze Ergebnis herausbekomme.

Bedanke mich schonmal im Vorraus!
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4778
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 15:17:   Beitrag drucken

Hi

Wir nehmen das Ergebnis zu Vergleichszwecken voraus.
Das Volumen des gegebenen Tetraeders, so heißt diese Pyramide auch,
wird ganzzahlig; es gilt nämlich:
V = 228 (V-Einheiten)

Es ist verdienstvoll, dass Du mit der Berechnung schon begonnen
und gewisse Vorstellungen über den Lösungsweg zur Verfügung hast.
Du solltest uns aber mitteilen, welche Seitenfläche Du als Grundfläche
nimmst. Beim Tetraeder kann jede der vier Seitenflächen diese Rolle
übernehmen.
Kennst Du den Umgang mit dem Vektorprodukt,
mit der Hessenschen Abstandsformel,
mit dem gemischten Produkt?
Kennst Du den Begriff des Spatprodukts?
Das alles sollten Deine potentiellen Helfer wissen

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4779
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 16:01:   Beitrag drucken

Hi Britt

Ich präsentiere eine erste Lösung
Ich führe die drei Kantenvektoren
u = AB = {8;14;-6}
v = AC = {12;3;-3}
w = AD = {5;5;7}

Als Grundfläche wähle ich das Dreieck ABC, welches durch
die Vektoren u und v bestimmt wird.
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks sei g.
G stimmt mit dem halben Absolutbetrag des Vektorprodukts
p = u x v überein.
Wir berechnen nun (hoffentlich) routinemäßig p.
Ergebnis: p = - 24 {1;2;6}
G = ½ abs (p) = ½ * 24 * sqrt(41) = 12 * sqrt(41)

Das Vektorprodukt u x v dient uns auch dazu, die Gleichung
der Ebene E durch die Ecken A,B,C aufzustellen.
Wir erhalten eine Koordinatengleichung für E, die so aussieht:
x + 2 y + 6 z = - 5.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1141
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 16:49:   Beitrag drucken

Ich hätte dafür eine weitere nicht gerade übliche Möglichkeit das zu lösen:

Buch
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4780
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 16:53:   Beitrag drucken

Hi Britt

Die Hessesche Normalform (HNF) der Ebene E lautet:
(x + 2 y + 6 z + 5 ) / sqrt (41) = 0
Ersetzt man in dieser Gleichung die Koordinaten x,y,z durch
diejenigen der Ecke D, so ergibt die linke Seite der HNF
die Höhe h bezüglich der Grundfläche ABC.
Es kommt:
h = (- 2 + 0 + 54 + 5 ) / sqrt (41) = 57 / sqrt(41)
Damit erhalten wir:
V = 1/3 * G * h = 4 * 57 = 228, wie in der Vorankündigung steht.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4781
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 17:08:   Beitrag drucken

Hi Walter

Die Lösung mit der Determinante hängt mit der Methode
des gemischten Produkts zusammen; Letztere führe ich jetzt vor.

Mit den Bezeichnungen von früher kommt für das
Tetraedervolumenyr
V = 1/6 * (u x v ) . w
Vorne steht das Vektorprodukt, das wir schon kennen;
dann kommt, außen herum,das Skalarprodukt mit w.

Ergebnis:
V = 1/6 * 24 * [5 + 10 +42] = 228

Das ist ziemlich einfach und elegant.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Sugerlilly (Sugerlilly)
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Benutzername: Sugerlilly

Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 08:31:   Beitrag drucken

Vielen, vielen Dank! Das hat mir wirklich weitergeholfen! :-)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4785
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 16:59:   Beitrag drucken

Hi Britt

Die Berechnung des Volumens einer Pyramide ist eine ziemlich
zentrale Aufgabe der analytischen Geometrie des Raumes.
Zur Lösung gibt es, wie wir gezeigt haben, mehrere Verfahren.
Um in den Berechnungen sattelfest zu werden, empfehle ich,
der Reihe nach die Dreiecke ABD, BCD und CAD als Grundflächen
zu verwenden,.
Versuche es außerdem mit der schönen Volumenformel
V = d/6 *AB * CD * sin (omega)
d ist der kürzeste Abstand der Geraden AB und CD
omega ist der Winkel dieser Geraden
AB und CD sind entsprechende Kantenlängen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4786
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 16:59:   Beitrag drucken

Hi Britt

Die Berechnung des Volumens einer Pyramide ist eine ziemlich
zentrale Aufgabe der analytischen Geometrie des Raumes.
Zur Lösung gibt es, wie wir gezeigt haben, mehrere Verfahren.
Um in den Berechnungen sattelfest zu werden, empfehle ich,
der Reihe nach die Dreiecke ABD, BCD und CAD als Grundflächen
zu verwenden,.
Versuche es außerdem mit der schönen Volumenformel
V = d/6 *AB * CD * sin (omega)
d ist der kürzeste Abstand der Geraden AB und CD
omega ist der Winkel dieser Geraden
AB und CD sind entsprechende Kantenlängen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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