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Sugerlilly (Sugerlilly)
Mitglied Benutzername: Sugerlilly
Nummer des Beitrags: 43 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 14:02: |
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Die vier Punkte A(-7/-5/2), B(1/9/-6), C(5/-2/-1), D(-2/0/9) seien die Ecken einer dreiseitigen Pyramide. Berechne das Volumen V der Pyramide. Also die Formel lautet ja 1/3*G*h Die Angabe G habe ich schon: 45,78 Jetzt weiß ich leider nicht wie ich mit den Angaben und der Vektorrechnungen h ausrechne bzw. das ganze Ergebnis herausbekomme. Bedanke mich schonmal im Vorraus! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4778 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 15:17: |
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Hi Wir nehmen das Ergebnis zu Vergleichszwecken voraus. Das Volumen des gegebenen Tetraeders, so heißt diese Pyramide auch, wird ganzzahlig; es gilt nämlich: V = 228 (V-Einheiten) Es ist verdienstvoll, dass Du mit der Berechnung schon begonnen und gewisse Vorstellungen über den Lösungsweg zur Verfügung hast. Du solltest uns aber mitteilen, welche Seitenfläche Du als Grundfläche nimmst. Beim Tetraeder kann jede der vier Seitenflächen diese Rolle übernehmen. Kennst Du den Umgang mit dem Vektorprodukt, mit der Hessenschen Abstandsformel, mit dem gemischten Produkt? Kennst Du den Begriff des Spatprodukts? Das alles sollten Deine potentiellen Helfer wissen Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4779 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 16:01: |
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Hi Britt Ich präsentiere eine erste Lösung Ich führe die drei Kantenvektoren u = AB = {8;14;-6} v = AC = {12;3;-3} w = AD = {5;5;7} Als Grundfläche wähle ich das Dreieck ABC, welches durch die Vektoren u und v bestimmt wird. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks sei g. G stimmt mit dem halben Absolutbetrag des Vektorprodukts p = u x v überein. Wir berechnen nun (hoffentlich) routinemäßig p. Ergebnis: p = - 24 {1;2;6} G = ½ abs (p) = ½ * 24 * sqrt(41) = 12 * sqrt(41) Das Vektorprodukt u x v dient uns auch dazu, die Gleichung der Ebene E durch die Ecken A,B,C aufzustellen. Wir erhalten eine Koordinatengleichung für E, die so aussieht: x + 2 y + 6 z = - 5. Fortsetzung folgt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1141 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 16:49: |
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Ich hätte dafür eine weitere nicht gerade übliche Möglichkeit das zu lösen:
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4780 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 16:53: |
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Hi Britt Die Hessesche Normalform (HNF) der Ebene E lautet: (x + 2 y + 6 z + 5 ) / sqrt (41) = 0 Ersetzt man in dieser Gleichung die Koordinaten x,y,z durch diejenigen der Ecke D, so ergibt die linke Seite der HNF die Höhe h bezüglich der Grundfläche ABC. Es kommt: h = (- 2 + 0 + 54 + 5 ) / sqrt (41) = 57 / sqrt(41) Damit erhalten wir: V = 1/3 * G * h = 4 * 57 = 228, wie in der Vorankündigung steht. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4781 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 17:08: |
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Hi Walter Die Lösung mit der Determinante hängt mit der Methode des gemischten Produkts zusammen; Letztere führe ich jetzt vor. Mit den Bezeichnungen von früher kommt für das Tetraedervolumenyr V = 1/6 * (u x v ) . w Vorne steht das Vektorprodukt, das wir schon kennen; dann kommt, außen herum,das Skalarprodukt mit w. Ergebnis: V = 1/6 * 24 * [5 + 10 +42] = 228 Das ist ziemlich einfach und elegant. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Sugerlilly (Sugerlilly)
Mitglied Benutzername: Sugerlilly
Nummer des Beitrags: 44 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 08:31: |
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Vielen, vielen Dank! Das hat mir wirklich weitergeholfen! :-) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4785 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 16:59: |
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Hi Britt Die Berechnung des Volumens einer Pyramide ist eine ziemlich zentrale Aufgabe der analytischen Geometrie des Raumes. Zur Lösung gibt es, wie wir gezeigt haben, mehrere Verfahren. Um in den Berechnungen sattelfest zu werden, empfehle ich, der Reihe nach die Dreiecke ABD, BCD und CAD als Grundflächen zu verwenden,. Versuche es außerdem mit der schönen Volumenformel V = d/6 *AB * CD * sin (omega) d ist der kürzeste Abstand der Geraden AB und CD omega ist der Winkel dieser Geraden AB und CD sind entsprechende Kantenlängen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4786 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 16:59: |
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Hi Britt Die Berechnung des Volumens einer Pyramide ist eine ziemlich zentrale Aufgabe der analytischen Geometrie des Raumes. Zur Lösung gibt es, wie wir gezeigt haben, mehrere Verfahren. Um in den Berechnungen sattelfest zu werden, empfehle ich, der Reihe nach die Dreiecke ABD, BCD und CAD als Grundflächen zu verwenden,. Versuche es außerdem mit der schönen Volumenformel V = d/6 *AB * CD * sin (omega) d ist der kürzeste Abstand der Geraden AB und CD omega ist der Winkel dieser Geraden AB und CD sind entsprechende Kantenlängen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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