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Antonella
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 18:59: | 
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Gegeben ist die Hyp : 4xhoch 2- yhoch 2= 20
a. Berechne jene Punkte der Hyperbel, für die XF1 normal zu XF2 ist.
b. Durch den Lösungspunkt im 1. Quadranten ist eine Parabel zu legen. Berechne die Gleichung dieser Parabel
c. Berechne die Geichung der Tangente an die Parabel in diesem Punkt!
d. Diese Tangente schneidet die x-Achse im Punkt S. Die Fläche zwischen der Tangente und der Parabel dreht sich um die x-Achse. Berechne das Volumen!
Also ich kenne mich hier hinten und vorne nicht aus! Ich hoffe jemand kann mir helfen bei den Ansätzen besonder zu punkt a und b!
Danke euch im vorraus! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4751
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:03: |
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Hi Antonella
Es ist bezeichnend für die Ansprüche, die Deine Aufgabe stellt,
dass eine korrekte Lösung weit und breit nicht in Sicht ist;
Schnellschüsse sind hier tatsächlich nicht angebracht.
Zuerst geht es darum, die Brennpunkte F1 und F2 der
Hyperbel zu ermitteln.
Dies gelingt mit Hilfe der linearen Exzentrizität e der
Hyperbel; e ist nämlich gerade der x-Wert eines
Brennpunktes F1.
Es gilt: F1(e/0), F2(-e/0).
Wir bringen die Hyperbelgleichung auf die Form
x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.
Wir berechnen e aus den Halbachsen a und b der Hyperbel
gemäß der Formel
e^2 = a^2 + b^2.
Wir dividieren beide Seiten mit 20 und es entsteht
x^2 / 5 - y^2 / 20 = 1.
Wir lesen ab : a = sqrt(5) ,b = 2* sqrt(5);
daraus berechnet man nach obiger Formel e = 5.;
somit
F1(5/0),F2(-5(0)
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4752
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:06: |
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Hi Antonella
Es ist bezeichnend für die Ansprüche, die Deine Aufgabe stellt,
dass eine Lösung weit und breit nicht in Sicht ist;
Schnellschüsse sind hier tatsächlich nicht angebracht.
Zuerst geht es darum, die Brennpunkte F1 und F2 der
Hyperbel zu ermitteln.
Dies gelingt mit Hilfe der linearen Exzentrizität e der
Hyperbel; e ist nämlich gerade der x-Wert eines
Brennpunktes F1.
Es gilt: F1(e/0), F2(-e/0).
Wir bringen die Hyperbelgleichung auf die Form
x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.
Wir berechnen e aus den Halbachsen a und b der Hyperbel
gemäß der Formel
e^2 = a^2 + b^2.
Wir dividieren beide Seiten mit 20 und es entsteht
x^2 / 5 - y^2 / 20 = 1.
Wir lesen ab : a = sqrt(5) ,b = 2* sqrt(5);
daraus berechnet man nach obiger Formel e = 5.;
somit
F1(5/0),F2(-5(0)
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4753
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:27: |
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Hi Antonella
Fortsetzung
Die vier gesuchten Punkte auf der Hyperbel
erhält man durch Spiegelung an den Koordinatenachsen
aus einem einzigen Punkt P(x1/y1) dieser Art im ersten
Quadrant.
Die Gerade F1 P hat die Steigung
m1 = (x1 – 5 ) / y1
Die Gerade F2 P hat die Steigung
m2 = (x1 + 5) / y1
Die Orthogonalität dieser Geraden verlangt
m1 * m2 = - 1, also
x1^2 – 25 = - y1^2.
Wegen der Hyperbelgleichung
y1 ^2 = 4 x1 ^2 – 20
wird daraus:
x1^2 = 9, y1^2 =16
x1 = 3 , y1 = 4
usw |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4754
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:35: |
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Hi Antonella
Die im Aufgabentext erwähnte Parabel
muss ihrer Natur nach (Lage und Parameter)
präzisiert werden; ich nehme an, dass ihre Gleichung
im Ansatz y = c x^2 lautet, mit einer zu bestimmenden
Konstanten c.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4756
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 10:13: |
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Hi Antonella
Du hast offenbar das Interesse an Deiner eigenen Aufgabe
verloren, da Du in keiner Weise auf meine Beiträge reagierst.
Trotzdem setze ich meine Bemühungen zur Lösung der Aufgabe
fort, sogar mit einer eigenmächtig von mir postulierten Parabel.
Es gibt immer interessierte Leser, denen solche Abhandlungen
weiterhelfen.
Die Parabelgleichung laute y = c * x^2 mit einer zu
bestimmenden Konstanten c.
Die Parabel muss durch den in meinem letzten Beitrag
ermittelten Punkt P(3/4) gehen.
Somit gilt 4 = c * 9, also c = 4/9.
Für die weitern Ausführungen verwende ich die allgemeine
Parabelgleichung y = c * x^2 weil sich damit ein
allgemeiner Aspekt der Aufgabe deutlicher zeigt.
Auch die Koordinaten x1, y1 des Berührungspunktes P
sollen allgemein angesetzt werden
Es gilt also insbesondere y1^2 = c * x1^2.
Wir erhalten als Gleichung der Parabeltangente t
mit P als Berührungspunkt:
y – y1 = 2 c x1* (x-x1)
Um den Schnittpunkt S von t mit der x-Achse zu erhalten,
setze darin y = 0 ; der x-Wert von S ist
xS = x1- y1/ (2 c x1) = [2 c (x1^2 ) - y1] / (2 c x1) =
( c x1^2) / (2 c x1) = ½ x1 (!)
Bemerkenswert, aber bekannt:
Die Abszisse xS des Schnittpunktes S der Parabeltangente
mit der x-Achse ist unabhängig von der Konstante c in der
Parabelgleichung y = c x^2.
Es gilt
xS = ½ x1 = 3/2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Antonella
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 10:36: |
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Hi Megamath!
Wer würde denn bei solchen Beispielen nicht jegliche Interesse verlieren *g*
Spaß, ich war nur die letzten Tage nicht Online!
Deine Antworten sind ja wirklich interessant!
Muss mir das ein paar mal durchlesen bis ich es auch mal verstehe! *g*
Aber danke auf jeden Fall mal! |
Antonella
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 10:48: |
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Das einzige was ich hier nicht verstehe ist dein m1 * m2 ...wir haben bisher zu dem kapitl kegelschnitten nie etwas derartiges gehabt bzw verwendet! Gibt es da nicht eine andere Möglichkeit? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4757
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 13:07: |
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Hi Antonella
Bravo für Deine Reaktionen!
Ich komme auf Deine Frage bezüglich m1*m2 zurück
und zeige Dir dann noch eine andere Methode zur
Bestimmung der gesuchten Punkte auf der Hyperbel.
Ist in Deinem Aufgabentext die Parabel nicht näher
beschrieben worden?
Interessiert Dich auch die Volumengeschichte?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Antonella
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 13:28: |
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tja so läuft bei uns mathe ab! es gibt keine weitere beschreibung oder weitere anhaltspunkte!
also daweil haben wir die zwei brennpunkte...wie komm ich da auf XF1 und XF2 dass sie normal aufeinander stehen..ich verstehe das echt nicht
und zur parabel die gleichung der parabel in der 1.hauptlage ist y^2 = 2px (p=2e)
tja das hilft mir auch wenig da ich mich bei dem beispiel hinten und vorn nicht auskenne....und besonders das mit m1 und m2 verwirrt mich noch mehr
*ich absolut verwirrt bin* |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4758
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 13:38: |
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Hi Antonella
Die von mir benützte Relation m1*m2 = -1
ist die bekannte Orthogonalitätsrelation
der analytischen Geometrie der Ebene;
sie hat mit Kegelschnitten direkt nichts zu tun.
Mit ihr wird zum Ausdruck gebracht, dass
zwei Gerade g1, g2 mit den Steigungen
m1 bzw. m2 aufeinander senkrecht stehen,
wenn die Relation erfüllt ist und umgekehrt.
Du kannst diese Formel aber auch elegant
umsegeln, wenn Du einen Thaleskreis heranziehst,
wie das schon FriedrichLaher in seinem Beitrag
getan hat.
Da die orthogonalen Geraden durch F1 bzw. F2
gehen müssen, ist die Strecke F1 F2 justement
der Durchmesser des Thaleskreises.
Dar Radius beträgt somit r = 5, der Mittelpunkt l
liegt im Ursprung.
Somit lautet die Gleichung des Thaleskreises
x^2 + y^2 = 25.
Zusammen mit der Hyperbelgleichung
y^2 = 4 x^2 – 20 bekommst Du als
Schnittelemente die gesuchten Punkte P(3/4)….
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4759
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 14:00: |
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Hi Antonella
Neben der von Dir erwähnten Parabel, deren Achse
die x-Achse ist und deren Scheitel im Nullpunkt liegt,
gibt es die Standardparabel als quadratische Funktion in x,
deren Gleichung y = c x^2 lautet.
Die Achse dieser Parabel ist jetzt die y-Achse, und der
Scheitel liegt ebenfalls im Nullpunkt.
Ich schlage vor, dass wir uns an die letztere halten.
Man sieht daraus, wie lästig es sein kann, wenn
seitens der Lehrer unpräzise Vorgaben gemacht werden.
Ein Sündenfall mehr auf dieser Welt.
Damit brechen wir die Behandlung dieser Aufgabe ab.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
