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Antonella
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 18:59: |
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Gegeben ist die Hyp : 4xhoch 2- yhoch 2= 20 a. Berechne jene Punkte der Hyperbel, für die XF1 normal zu XF2 ist. b. Durch den Lösungspunkt im 1. Quadranten ist eine Parabel zu legen. Berechne die Gleichung dieser Parabel c. Berechne die Geichung der Tangente an die Parabel in diesem Punkt! d. Diese Tangente schneidet die x-Achse im Punkt S. Die Fläche zwischen der Tangente und der Parabel dreht sich um die x-Achse. Berechne das Volumen! Also ich kenne mich hier hinten und vorne nicht aus! Ich hoffe jemand kann mir helfen bei den Ansätzen besonder zu punkt a und b! Danke euch im vorraus! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4751 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:03: |
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Hi Antonella Es ist bezeichnend für die Ansprüche, die Deine Aufgabe stellt, dass eine korrekte Lösung weit und breit nicht in Sicht ist; Schnellschüsse sind hier tatsächlich nicht angebracht. Zuerst geht es darum, die Brennpunkte F1 und F2 der Hyperbel zu ermitteln. Dies gelingt mit Hilfe der linearen Exzentrizität e der Hyperbel; e ist nämlich gerade der x-Wert eines Brennpunktes F1. Es gilt: F1(e/0), F2(-e/0). Wir bringen die Hyperbelgleichung auf die Form x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1. Wir berechnen e aus den Halbachsen a und b der Hyperbel gemäß der Formel e^2 = a^2 + b^2. Wir dividieren beide Seiten mit 20 und es entsteht x^2 / 5 - y^2 / 20 = 1. Wir lesen ab : a = sqrt(5) ,b = 2* sqrt(5); daraus berechnet man nach obiger Formel e = 5.; somit F1(5/0),F2(-5(0) Fortsetzung folgt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4752 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:06: |
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Hi Antonella Es ist bezeichnend für die Ansprüche, die Deine Aufgabe stellt, dass eine Lösung weit und breit nicht in Sicht ist; Schnellschüsse sind hier tatsächlich nicht angebracht. Zuerst geht es darum, die Brennpunkte F1 und F2 der Hyperbel zu ermitteln. Dies gelingt mit Hilfe der linearen Exzentrizität e der Hyperbel; e ist nämlich gerade der x-Wert eines Brennpunktes F1. Es gilt: F1(e/0), F2(-e/0). Wir bringen die Hyperbelgleichung auf die Form x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1. Wir berechnen e aus den Halbachsen a und b der Hyperbel gemäß der Formel e^2 = a^2 + b^2. Wir dividieren beide Seiten mit 20 und es entsteht x^2 / 5 - y^2 / 20 = 1. Wir lesen ab : a = sqrt(5) ,b = 2* sqrt(5); daraus berechnet man nach obiger Formel e = 5.; somit F1(5/0),F2(-5(0) Fortsetzung folgt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4753 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:27: |
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Hi Antonella Fortsetzung Die vier gesuchten Punkte auf der Hyperbel erhält man durch Spiegelung an den Koordinatenachsen aus einem einzigen Punkt P(x1/y1) dieser Art im ersten Quadrant. Die Gerade F1 P hat die Steigung m1 = (x1 – 5 ) / y1 Die Gerade F2 P hat die Steigung m2 = (x1 + 5) / y1 Die Orthogonalität dieser Geraden verlangt m1 * m2 = - 1, also x1^2 – 25 = - y1^2. Wegen der Hyperbelgleichung y1 ^2 = 4 x1 ^2 – 20 wird daraus: x1^2 = 9, y1^2 =16 x1 = 3 , y1 = 4 usw |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4754 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2005 - 20:35: |
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Hi Antonella Die im Aufgabentext erwähnte Parabel muss ihrer Natur nach (Lage und Parameter) präzisiert werden; ich nehme an, dass ihre Gleichung im Ansatz y = c x^2 lautet, mit einer zu bestimmenden Konstanten c. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4756 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 10:13: |
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Hi Antonella Du hast offenbar das Interesse an Deiner eigenen Aufgabe verloren, da Du in keiner Weise auf meine Beiträge reagierst. Trotzdem setze ich meine Bemühungen zur Lösung der Aufgabe fort, sogar mit einer eigenmächtig von mir postulierten Parabel. Es gibt immer interessierte Leser, denen solche Abhandlungen weiterhelfen. Die Parabelgleichung laute y = c * x^2 mit einer zu bestimmenden Konstanten c. Die Parabel muss durch den in meinem letzten Beitrag ermittelten Punkt P(3/4) gehen. Somit gilt 4 = c * 9, also c = 4/9. Für die weitern Ausführungen verwende ich die allgemeine Parabelgleichung y = c * x^2 weil sich damit ein allgemeiner Aspekt der Aufgabe deutlicher zeigt. Auch die Koordinaten x1, y1 des Berührungspunktes P sollen allgemein angesetzt werden Es gilt also insbesondere y1^2 = c * x1^2. Wir erhalten als Gleichung der Parabeltangente t mit P als Berührungspunkt: y – y1 = 2 c x1* (x-x1) Um den Schnittpunkt S von t mit der x-Achse zu erhalten, setze darin y = 0 ; der x-Wert von S ist xS = x1- y1/ (2 c x1) = [2 c (x1^2 ) - y1] / (2 c x1) = ( c x1^2) / (2 c x1) = ½ x1 (!) Bemerkenswert, aber bekannt: Die Abszisse xS des Schnittpunktes S der Parabeltangente mit der x-Achse ist unabhängig von der Konstante c in der Parabelgleichung y = c x^2. Es gilt xS = ½ x1 = 3/2. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Antonella
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 10:36: |
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Hi Megamath! Wer würde denn bei solchen Beispielen nicht jegliche Interesse verlieren *g* Spaß, ich war nur die letzten Tage nicht Online! Deine Antworten sind ja wirklich interessant! Muss mir das ein paar mal durchlesen bis ich es auch mal verstehe! *g* Aber danke auf jeden Fall mal! |
Antonella
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 10:48: |
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Das einzige was ich hier nicht verstehe ist dein m1 * m2 ...wir haben bisher zu dem kapitl kegelschnitten nie etwas derartiges gehabt bzw verwendet! Gibt es da nicht eine andere Möglichkeit? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4757 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 13:07: |
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Hi Antonella Bravo für Deine Reaktionen! Ich komme auf Deine Frage bezüglich m1*m2 zurück und zeige Dir dann noch eine andere Methode zur Bestimmung der gesuchten Punkte auf der Hyperbel. Ist in Deinem Aufgabentext die Parabel nicht näher beschrieben worden? Interessiert Dich auch die Volumengeschichte? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Antonella
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 13:28: |
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tja so läuft bei uns mathe ab! es gibt keine weitere beschreibung oder weitere anhaltspunkte! also daweil haben wir die zwei brennpunkte...wie komm ich da auf XF1 und XF2 dass sie normal aufeinander stehen..ich verstehe das echt nicht und zur parabel die gleichung der parabel in der 1.hauptlage ist y^2 = 2px (p=2e) tja das hilft mir auch wenig da ich mich bei dem beispiel hinten und vorn nicht auskenne....und besonders das mit m1 und m2 verwirrt mich noch mehr *ich absolut verwirrt bin* |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4758 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 13:38: |
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Hi Antonella Die von mir benützte Relation m1*m2 = -1 ist die bekannte Orthogonalitätsrelation der analytischen Geometrie der Ebene; sie hat mit Kegelschnitten direkt nichts zu tun. Mit ihr wird zum Ausdruck gebracht, dass zwei Gerade g1, g2 mit den Steigungen m1 bzw. m2 aufeinander senkrecht stehen, wenn die Relation erfüllt ist und umgekehrt. Du kannst diese Formel aber auch elegant umsegeln, wenn Du einen Thaleskreis heranziehst, wie das schon FriedrichLaher in seinem Beitrag getan hat. Da die orthogonalen Geraden durch F1 bzw. F2 gehen müssen, ist die Strecke F1 F2 justement der Durchmesser des Thaleskreises. Dar Radius beträgt somit r = 5, der Mittelpunkt l liegt im Ursprung. Somit lautet die Gleichung des Thaleskreises x^2 + y^2 = 25. Zusammen mit der Hyperbelgleichung y^2 = 4 x^2 – 20 bekommst Du als Schnittelemente die gesuchten Punkte P(3/4)…. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4759 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2005 - 14:00: |
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Hi Antonella Neben der von Dir erwähnten Parabel, deren Achse die x-Achse ist und deren Scheitel im Nullpunkt liegt, gibt es die Standardparabel als quadratische Funktion in x, deren Gleichung y = c x^2 lautet. Die Achse dieser Parabel ist jetzt die y-Achse, und der Scheitel liegt ebenfalls im Nullpunkt. Ich schlage vor, dass wir uns an die letztere halten. Man sieht daraus, wie lästig es sein kann, wenn seitens der Lehrer unpräzise Vorgaben gemacht werden. Ein Sündenfall mehr auf dieser Welt. Damit brechen wir die Behandlung dieser Aufgabe ab. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |