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Induktion (Ungleichung)

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Phoenix87 (Phoenix87)
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Junior Mitglied
Benutzername: Phoenix87

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 12:46:   Beitrag drucken

Hallo!
Hab Probleme mit den folgenden Augaben:
1.) 4n < n^2+4
1a.) Beweisen Sie die ungleichung durch vollständige Induktion.
1b.) Beweisen die Ungleichung durch Umformung und Anwenden der binomischen Formel.

2.)Die Ungleichung 2^(n-1)>n^2 gilt nur für alle natürlichen Zahlen größer als a. Man bestimme die Zahl a und beweise die Gültigkeit der Ungleichung für n>a durch vollständige Induktion.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1603
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 13:25:   Beitrag drucken

Hallo

1a) Induktionsanfang n=3(Für n=2 stimmt die Ungleichung nicht!):
12<13 stimmt

Induktionsschluss n->n+1:
(n+1)^2+4=n^2+2n+1+4=(n^2+4)+2n+1
>4n+2n+1>4(n+1)
Das folgt, weil 2n+1>4 für n>2.

b) n^2-4n+4=(n-2)^2>0 für n>2. Also einfach umformen
n^2+4>4n

2. Wir setzen einfach mal ein paar Werte ein.
n=1: 2^0>1 stimmt nicht
n=2: 2>4 stimmt wieder nicht
n=3: 4>9 stimmt immer noch nicht
n=4: 8>16
n=5: 16>25
n=6: 32>36
n=7: 64>49 hier stimmt es das erste mal, also nehmen wir das mal als Induktionsanfang.

Induktionsschluss n->n+1:
2^(n+1-1)=2*2^n>2n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2
Die Beziehung n^2>2n+1 gilt für n>2, was du auch mit Induktion verifizieren kannst.

Insgesamt gilt die Ungleichung 2^(n-1)>n^2 also für alle natürlichen Zahlen größer als a=6.

MfG
Christian
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1004
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 13:28:   Beitrag drucken

Wäre schön, wenn Du dazu schreiben würdest, wo genau deine Probleme liegen. Gar keine Idee? Überhaupt schon etwas versucht und wenn ja: Wo hat das in eine Sackgasse geführt? So wäre es wesentlich leichter und effektiver Dir zu helfen, anstatt nur die Lösungen vorzukauen.

1a) n=3: 4*3=12<13=3²+4
Die Aussage sei für ein bestimmtes n>2 bewiesen, dann gilt auch
4(n+1)=4n+4<(n²+4)+4<n²+(2n+1)+4=(n+1)²+4

b) 4n<n²+4 <=> n²-4n+4>0 <=> (n-2)²>0 <=> n>2

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