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Phoenix87 (Phoenix87)
Junior Mitglied Benutzername: Phoenix87
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 01-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 12:46: |
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Hallo! Hab Probleme mit den folgenden Augaben: 1.) 4n < n^2+4 1a.) Beweisen Sie die ungleichung durch vollständige Induktion. 1b.) Beweisen die Ungleichung durch Umformung und Anwenden der binomischen Formel. 2.)Die Ungleichung 2^(n-1)>n^2 gilt nur für alle natürlichen Zahlen größer als a. Man bestimme die Zahl a und beweise die Gültigkeit der Ungleichung für n>a durch vollständige Induktion. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1603 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 13:25: |
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Hallo 1a) Induktionsanfang n=3(Für n=2 stimmt die Ungleichung nicht!): 12<13 stimmt Induktionsschluss n->n+1: (n+1)^2+4=n^2+2n+1+4=(n^2+4)+2n+1 >4n+2n+1>4(n+1) Das folgt, weil 2n+1>4 für n>2. b) n^2-4n+4=(n-2)^2>0 für n>2. Also einfach umformen n^2+4>4n 2. Wir setzen einfach mal ein paar Werte ein. n=1: 2^0>1 stimmt nicht n=2: 2>4 stimmt wieder nicht n=3: 4>9 stimmt immer noch nicht n=4: 8>16 n=5: 16>25 n=6: 32>36 n=7: 64>49 hier stimmt es das erste mal, also nehmen wir das mal als Induktionsanfang. Induktionsschluss n->n+1: 2^(n+1-1)=2*2^n>2n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2 Die Beziehung n^2>2n+1 gilt für n>2, was du auch mit Induktion verifizieren kannst. Insgesamt gilt die Ungleichung 2^(n-1)>n^2 also für alle natürlichen Zahlen größer als a=6. MfG Christian |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1004 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 13:28: |
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Wäre schön, wenn Du dazu schreiben würdest, wo genau deine Probleme liegen. Gar keine Idee? Überhaupt schon etwas versucht und wenn ja: Wo hat das in eine Sackgasse geführt? So wäre es wesentlich leichter und effektiver Dir zu helfen, anstatt nur die Lösungen vorzukauen. 1a) n=3: 4*3=12<13=3²+4 Die Aussage sei für ein bestimmtes n>2 bewiesen, dann gilt auch 4(n+1)=4n+4<(n²+4)+4<n²+(2n+1)+4=(n+1)²+4 b) 4n<n²+4 <=> n²-4n+4>0 <=> (n-2)²>0 <=> n>2
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