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Antje_p (Antje_p)
Neues Mitglied Benutzername: Antje_p
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. August, 2004 - 08:42: |
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Hallo brauche dringend Hilfe bei folgenden Aufgaben: 1. Gegeben ist die Funktion f : x -> 1/2 x^3 - 9/2 x^2 +23/2 x - 15/2 a) Führen sie eine Kurvendiskussion durch b) Berechnen Sie die endlichen Flächenstücke zwischen Kurve und x-Achse. 2. Das bestimmte Integral 1~0 (1+2x)^3 dx lässt sich auf zwei Arten lösen. Geben sie diese an, und führen sie die nötigen Rechnungen durch. 3. Betrachten sie die Funktion f: x -> - 1/5 x^2 + 20 im Bereich x= 1 und x= 5. Berechnen sie für eine Unterteilung in (gleich lange Strecken die zugehörige Untersumme U8 und Obersumme O8. Danke im Vorras! Bye |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1483 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. August, 2004 - 11:05: |
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Hallo 1a) f'(x)=3/2*x^2-9x+23/2 f''(x)=3x-9 f'''(x)=3 Nullstellen: Man kann hier die Nullstelle x=1 "raten" und dann Polynomdivision durchführen, was zu den beiden anderen Nullstellen x=3 und x=5 führt. Extremwerte: Setzen wir die erste Ableitung gleich Null, so ergeben sich die x-Werte x1=3+2/3*sqrt(3) und x2=3-2/3*sqrt(3). Weiter gilt f''(x1)<0 Also ein Hochpunkt bei x1. Außerdem f''(x2)>0, womit ein Tiefpunkt bei x2 liegt. Wendepunkte: Um die Wendepunkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich Null. Man erhält offenbar x=3. Dort liegt auch tatsächlich ein Wendepunkt, weil f'''(x)¹0 gilt. Außerdem haben wir lim(x->-¥)=-¥ und lim(x->¥)=¥ b) Wir brauchen hierfür die Nullstellen. Die haben wir in a) schon berechnet. Man hat damit Fläche F1: F1=ò1 3 f(x) dx = 2 Und die zweite Fläche F2=|ò3 5 f(x) dx |= 2 Stammfunktion von f ist F(x)=1/8*x^4-3/2*x^3+23/4*x^2-15/2*x 2. Methode 1) Ausmultiplizieren (1+2x)3=8x^3+12x^2+6x+1 Stammfunktion davon ist 2x^4+4x^3+3x^2+x Da musst du nur noch die Grenzen einsetzen, womit sich für das Integral der Wert 10 ergibt. Methode 2) Substitution. Substituiere z=1+2x Dann wird die untere Grenze im Integral zu 1, die obere zu 3. Weiter gilt dz/dx=2 Also ò0 1 (1+2x)^3 dx = 1/2*ò1 3 z^3 dz =1/8*[z^4]13=10 , wie erwartet. 3) Das mit der Obersumme bzw. Unersumme kannst du ja mal selbst versuchen. Wähle z.B. als Zerlegung (1+4/n; 1+2*4/n; ... ; 1+n*4/n) MfG Christian
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Antje_p (Antje_p)
Neues Mitglied Benutzername: Antje_p
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 11:53: |
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Danke Christian hast mir echt weitergeholfen mit deinen Tipps. Nur bei der Aufgabe mit der Ober-und Untersumme komm ich trotzdem nicht klar, wie geh ich denn dann weiter vor? Vielleicht könntest du mir da nochmal helfen, danke! MfG |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1496 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 12:16: |
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Hallo Antje Wir berechnen mal die Untersumme. Bei unserer Zerlegung haben wir ja immer Abstände von 4/n auf der x-Achse. Am besten du machst dir hier mal ne Skizze, dann ist das eher verständlich was wir hier machen ;) Als Untersumme haben wir dann Sn k=1 (4/n)*f(1+k*4/n) =Sn k=1 (4/n)*(-1/5*(1+k*4/n)2+20) =-1/5*Sn k=1 (4/n)*((1+k*4/n)2-100) =-1/5*Sn k=1 (4/n)*(1+8*k/n+16/n2*k2-100) =-1/5*Sn k=1 (4/n)*(8*k/n+16/n2*k2-99) =-1/5*[Sn k=1 (32*k/n2+64/n3*k2-396/n) =-1/5*[(32/n2Sn k=1 k) + 64/n3(Sn k=1k2)-396/n*Sn k=11] Hier musst du jetzt ein paar Summenformeln kennen Sn k=1 k = n(n+1)/2 [Gaußsche Summenformel] Sn k=1 k2 = n(n+1)(2n+1)/6 Das setzen wir oben ein -1/5*[(32/n2*n(n+1)/2 + 64/n3*n(n+1)(2n+1)/6-396/n*n] Das musst du jetzt einfach zusammenfassen. Man erhält 1076/15-48/(5n)-32/(15n2) Als Grenzwert für n->¥ erhältst du dann 1076/15. Das kannst du ja nochmal überprüfen, indem du das Integral ganz normal berechnest. Obersumme geht genauso, da musst du nur die Summe Sn-1 k=0 (4/n)*f(1+k*4/n) berechnen. MfG Christian |
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