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Unter-/Obersummen;Kurvendiskussion;be...

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Antje_p (Antje_p)
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Neues Mitglied
Benutzername: Antje_p

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. August, 2004 - 08:42:   Beitrag drucken

Hallo brauche dringend Hilfe bei folgenden Aufgaben:

1. Gegeben ist die Funktion
f : x -> 1/2 x^3 - 9/2 x^2 +23/2 x - 15/2

a) Führen sie eine Kurvendiskussion durch
b) Berechnen Sie die endlichen Flächenstücke zwischen Kurve und x-Achse.

2. Das bestimmte Integral 1~0 (1+2x)^3 dx lässt sich auf zwei Arten lösen.
Geben sie diese an, und führen sie die nötigen Rechnungen durch.

3. Betrachten sie die Funktion
f: x -> - 1/5 x^2 + 20 im Bereich x= 1 und x= 5.
Berechnen sie für eine Unterteilung in (gleich lange Strecken die zugehörige Untersumme U8 und Obersumme O8.

Danke im Vorras! Bye
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1483
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. August, 2004 - 11:05:   Beitrag drucken

Hallo

1a)
f'(x)=3/2*x^2-9x+23/2
f''(x)=3x-9
f'''(x)=3

Nullstellen:

Man kann hier die Nullstelle x=1 "raten" und dann Polynomdivision durchführen, was zu den beiden anderen Nullstellen x=3 und x=5 führt.

Extremwerte:

Setzen wir die erste Ableitung gleich Null, so ergeben sich die x-Werte
x1=3+2/3*sqrt(3) und x2=3-2/3*sqrt(3).

Weiter gilt f''(x1)<0
Also ein Hochpunkt bei x1.

Außerdem f''(x2)>0, womit ein Tiefpunkt bei x2 liegt.


Wendepunkte:

Um die Wendepunkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich Null. Man erhält offenbar x=3. Dort liegt auch tatsächlich ein Wendepunkt, weil f'''(x)¹0 gilt.

Außerdem haben wir
lim(x->-¥)=-¥ und
lim(x->¥)=¥

b) Wir brauchen hierfür die Nullstellen. Die haben wir in a) schon berechnet. Man hat damit Fläche F1:

F1=ò1 3 f(x) dx = 2

Und die zweite Fläche

F2=|ò3 5 f(x) dx |= 2

Stammfunktion von f ist
F(x)=1/8*x^4-3/2*x^3+23/4*x^2-15/2*x

2. Methode 1) Ausmultiplizieren
(1+2x)3=8x^3+12x^2+6x+1
Stammfunktion davon ist
2x^4+4x^3+3x^2+x

Da musst du nur noch die Grenzen einsetzen, womit sich für das Integral der Wert 10 ergibt.

Methode 2) Substitution.

Substituiere z=1+2x
Dann wird die untere Grenze im Integral zu 1, die obere zu 3.
Weiter gilt dz/dx=2

Also
ò0 1 (1+2x)^3 dx = 1/2*ò1 3 z^3 dz
=1/8*[z^4]13=10 , wie erwartet.

3) Das mit der Obersumme bzw. Unersumme kannst du ja mal selbst versuchen. Wähle z.B. als Zerlegung (1+4/n; 1+2*4/n; ... ; 1+n*4/n)

MfG
Christian
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Antje_p (Antje_p)
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Neues Mitglied
Benutzername: Antje_p

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 11:53:   Beitrag drucken

Danke Christian hast mir echt weitergeholfen mit deinen Tipps. Nur bei der Aufgabe mit der Ober-und Untersumme komm ich trotzdem nicht klar, wie geh ich denn dann weiter vor? Vielleicht könntest du mir da nochmal helfen, danke! MfG
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1496
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 12:16:   Beitrag drucken

Hallo Antje

Wir berechnen mal die Untersumme. Bei unserer Zerlegung haben wir ja immer Abstände von 4/n auf der x-Achse. Am besten du machst dir hier mal ne Skizze, dann ist das eher verständlich was wir hier machen ;)

Als Untersumme haben wir dann
Sn k=1 (4/n)*f(1+k*4/n)
=Sn k=1 (4/n)*(-1/5*(1+k*4/n)2+20)
=-1/5*Sn k=1 (4/n)*((1+k*4/n)2-100)
=-1/5*Sn k=1 (4/n)*(1+8*k/n+16/n2*k2-100)
=-1/5*Sn k=1 (4/n)*(8*k/n+16/n2*k2-99)
=-1/5*[Sn k=1 (32*k/n2+64/n3*k2-396/n)
=-1/5*[(32/n2Sn k=1 k) + 64/n3(Sn k=1k2)-396/n*Sn k=11]

Hier musst du jetzt ein paar Summenformeln kennen
Sn k=1 k = n(n+1)/2
[Gaußsche Summenformel]
Sn k=1 k2 = n(n+1)(2n+1)/6

Das setzen wir oben ein

-1/5*[(32/n2*n(n+1)/2 + 64/n3*n(n+1)(2n+1)/6-396/n*n]
Das musst du jetzt einfach zusammenfassen. Man erhält
1076/15-48/(5n)-32/(15n2)

Als Grenzwert für n->¥ erhältst du dann 1076/15. Das kannst du ja nochmal überprüfen, indem du das Integral ganz normal berechnest.

Obersumme geht genauso, da musst du nur die Summe
Sn-1 k=0 (4/n)*f(1+k*4/n)
berechnen.

MfG
Christian

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