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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 147 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 17:42: |
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Folgende Aufgaben: a) n² > 2n + 1 für alle n >_3, n€N b) 2^n > n² für alle n>_5, n€N Ich wußte nicht so richtig, wie man an solche Aufgaben herangeht,kann mir jemand helfen ? Meine "Lösung": a) Induktionsanfang A(3): 9>7 A(3+m)*: (3+m)² = 9 + 6m + m² linke Seite 2(3+m)+1 = 7+m rechte Seite (*m€N) 7+m ist generell kleiner als 9+6m und m² positiv,also muss die Annahme richtig sein. b) Leider keine Ahnung MfG Kratas |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 846 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 17:57: |
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a) n^2 >= 2n + 1 für n = 3: 3^2 >= 2*3 + 1 für n = 4: 4^2 >= 2*4 + 1 für n: n^2 >= 2*n + 1 für n+1: (n+1)^2 >= 2*(n+1) + 1 wenns für n stimmt, und für n+1 stimmen soll, dann muß die Differenz auch stimmen (n+1)^2 - n^2 >= [ 2*(n+1) + 1 ] - [ 2*n + 1 ] n^2 + 2n + 1 - n^2 >= 2n + 2 + 1 - 2n - 1 2n + 1 >= 2 2n >= 1 und das gilt nach Voraussetzung n >= 3 immer b) 2^n >= n^2 für n = 5: 2^5 >= 5^2 für n = 6: 2^6 >= 6^2 für n: 2^n >= n^2 f+r n+1: 2^(n+1) >= (n+1)^2 wenns für n stimmt, und für n+1 stimmen soll, dann muß der Quotient auch stimmen 2^(n+1) / 2^n >= (n+1)^2 / n^2 2 >= ((n+1)/n)^2 2 >= (1+1/n)^2 2 >= 1 + 2/n + 1/n^2 1 >= 2/n + 1/n^2 und das gilt nach Voraussetzung n >= 5 immer
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2335 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:04: |
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2^(n+1) = 2*2^n (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 und wie Du in (a) schon bewiesen hast n^2 > 2n+1, also n^2 + (2n+1) < 2*n^2 wogegen die andere Seite sich verdoppelt Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 149 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:09: |
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@Mainzi Man: Dankedankedanke...wie kommt man auf diese Sache mit der Differenz bzw. mit dem Quotient ? Hast du eine bestimmte Vorgehensweise bei solchen Aufgaben ? Wie machst du das ? Viele Grüße Kratas |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 150 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:12: |
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@Friedrichlaher: Vielen Dank ! :=) |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1679 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:30: |
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@Kratas: kannst du so machen. Abgesehen davon, dass die rechte Seite 7 + 2m lautet. Aber das ist kein Induktionsbeweis! Induktionsvoraussetzung: n² > 2n + 1 Induktionsschritt: Zeige: (n + 1)² > 2(n + 1) + 1 Beweis: (n + 1)² = n² + 2n + 1 > 2n + 1 + 2n + 1 nach I.V. = 2(n + 1) + 2n > 2(n + 1) + 1 da 2n > 1 @Mainzi: Deine Beweise sind leider kompletter Nonsense. Was soll denn "wenns für n stimmt und für n+1 stimmen soll, dann muss die Differenz/der Quotient auch stimmen"??? Induktionsschritt für b: 2^(n + 1) = 2 * 2^n > 2 * n² nach I.V. = n² + n² > n² + 2*n + 1 nach a = (n + 1)²
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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 151 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 19:00: |
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Besten Dank,Zaph. Leuchtet mir alles ein. Muss man allerdings erstmal draufkommen. Gruß Kratas
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 847 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 21:46: |
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@Zaph: das ist der Trick bei dem ganzen wenn du hast f(n) <= g(n) und zeigen sollst dass auch gilt f(n+1) <= g(n+1) dann genügt es die Verschärfung f(n+1)/f(n) <= g(n+1)/g(n) zu zeigen; daß das nur für positive f(i), g(i) gilt ist klar; ist aber eh hier der Fall; das gleiche gilt analog für Verschärfung durch Differenz! ob f(n+1) < f(n) oder f(n) < f(n+1) gilt spielt dabei keine Rolle! Die Verschärfte Ungleichung hat immer die Gleichheit mit dabei! So ein Nonsens kann das nicht sein, oder?
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1680 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 22:03: |
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Okay, es gilt: Wenn f(n) < g(n) und f(n+1)/f(n) < g(n+1)/g(n) dann f(n+1) < g(n+1). und Wenn f(n) < g(n) und f(n+1) - f(n) < g(n+1) - g(n) dann f(n+1) < g(n+1). Das hast du aber sooo oben nicht geschrieben.
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 848 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 23:08: |
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Les mal genauer (f(n) < g(n) und f(n+1)-f(n) £ g(n+1)-g(n)) => f(n+1) < g(n+1) Die Gleichheit bei der Verschärfung zuzulassen ist wichtig! (Beitrag nachträglich am 26., Juli. 2004 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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