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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 17:42: | 
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Folgende Aufgaben:
a) n² > 2n + 1 für alle n >_3, n€N
b) 2^n > n² für alle n>_5, n€N
Ich wußte nicht so richtig, wie man an solche Aufgaben herangeht,kann mir jemand helfen ?
Meine "Lösung":
a) Induktionsanfang A(3): 9>7
A(3+m)*: (3+m)² = 9 + 6m + m² linke Seite
2(3+m)+1 = 7+m rechte Seite
(*m€N) 7+m ist generell kleiner als 9+6m und m² positiv,also muss die Annahme richtig sein.
b) Leider keine Ahnung 
MfG
Kratas |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 846
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 17:57: |
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a)
n^2 >= 2n + 1
für n = 3: 3^2 >= 2*3 + 1
für n = 4: 4^2 >= 2*4 + 1
für n: n^2 >= 2*n + 1
für n+1: (n+1)^2 >= 2*(n+1) + 1
wenns für n stimmt, und für n+1 stimmen soll, dann muß die Differenz auch stimmen
(n+1)^2 - n^2 >= [ 2*(n+1) + 1 ] - [ 2*n + 1 ]
n^2 + 2n + 1 - n^2 >= 2n + 2 + 1 - 2n - 1
2n + 1 >= 2
2n >= 1
und das gilt nach Voraussetzung n >= 3 immer
b)
2^n >= n^2
für n = 5: 2^5 >= 5^2
für n = 6: 2^6 >= 6^2
für n: 2^n >= n^2
f+r n+1: 2^(n+1) >= (n+1)^2
wenns für n stimmt, und für n+1 stimmen soll, dann muß der Quotient auch stimmen
2^(n+1) / 2^n >= (n+1)^2 / n^2
2 >= ((n+1)/n)^2
2 >= (1+1/n)^2
2 >= 1 + 2/n + 1/n^2
1 >= 2/n + 1/n^2
und das gilt nach Voraussetzung n >= 5 immer
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2335
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:04: |
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2^(n+1) = 2*2^n
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
und
wie Du in (a) schon bewiesen hast n^2 > 2n+1,
also n^2 + (2n+1) < 2*n^2
wogegen die andere Seite sich verdoppelt
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:09: |
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@Mainzi Man: Dankedankedanke...wie kommt man auf diese Sache mit der Differenz bzw. mit dem Quotient ? Hast du eine bestimmte Vorgehensweise bei solchen Aufgaben ? Wie machst du das ?
Viele Grüße
Kratas |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:12: |
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@Friedrichlaher: Vielen Dank ! :=) |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1679
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 18:30: |
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@Kratas: kannst du so machen. Abgesehen davon, dass die rechte Seite 7 + 2m lautet. Aber das ist kein Induktionsbeweis!
Induktionsvoraussetzung:
n² > 2n + 1
Induktionsschritt:
Zeige: (n + 1)² > 2(n + 1) + 1
Beweis:
(n + 1)²
= n² + 2n + 1
> 2n + 1 + 2n + 1 nach I.V.
= 2(n + 1) + 2n
> 2(n + 1) + 1 da 2n > 1
@Mainzi:
Deine Beweise sind leider kompletter Nonsense. Was soll denn "wenns für n stimmt und für n+1 stimmen soll, dann muss die Differenz/der Quotient auch stimmen"???
Induktionsschritt für b:
2^(n + 1)
= 2 * 2^n
> 2 * n² nach I.V.
= n² + n²
> n² + 2*n + 1 nach a
= (n + 1)²
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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 19:00: |
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Besten Dank,Zaph.
Leuchtet mir alles ein. Muss man allerdings erstmal draufkommen.
Gruß
Kratas
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 847
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 21:46: |
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@Zaph: das ist der Trick bei dem ganzen
wenn du hast
f(n) <= g(n)
und zeigen sollst
dass auch gilt
f(n+1) <= g(n+1)
dann genügt es die Verschärfung
f(n+1)/f(n) <= g(n+1)/g(n)
zu zeigen; daß das nur für positive f(i), g(i) gilt ist klar; ist aber eh hier der Fall;
das gleiche gilt analog für Verschärfung durch Differenz!
ob f(n+1) < f(n) oder f(n) < f(n+1) gilt spielt dabei keine Rolle!
Die Verschärfte Ungleichung hat immer die Gleichheit mit dabei!
So ein Nonsens kann das nicht sein, oder?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1680
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 22:03: |
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Okay, es gilt:
Wenn
f(n) < g(n) und f(n+1)/f(n) < g(n+1)/g(n)
dann
f(n+1) < g(n+1).
und
Wenn
f(n) < g(n) und f(n+1) - f(n) < g(n+1) - g(n)
dann
f(n+1) < g(n+1).
Das hast du aber sooo oben nicht geschrieben.
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 848
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 23:08: |
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Les mal genauer 
(f(n) < g(n) und f(n+1)-f(n) £ g(n+1)-g(n)) => f(n+1) < g(n+1)
Die Gleichheit bei der Verschärfung zuzulassen ist wichtig!
(Beitrag nachträglich am 26., Juli. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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