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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juli, 2004 - 12:46: | 
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Aufgabe: Ist die Abbildung f: Q²->R , (x,y)->x+y*(sqrt2) injektiv ?
Mit dem Weg über f(x1,y1) = f(x2,y2) => ... bin ich nicht klar gekommen, da hab ich das folgendermaßen versucht zu machen:
Nehmen wir an man definiert: z:=x+y*(sqrt2),z€R
Dann gilt: x= z - y(sqrt2)
y= (z-x)/(sqrt2)
Das Produkt einer irrationalen Zahl (sqrt2) und einer rationalen Zahl (y)ist stets eine irrationale Zahl,außer wenn y=0 ist. Es gibt also stets für z€Q ein eindeutiges Paar (z|0) und für z€ R\Q existiert ein solches nicht,wegen x,y€Q.
Da es also immer nur ein Urbild gibt,ist die Funktion tatsächlich injektiv! Stimmts ?
MfG
Kratas |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1445
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juli, 2004 - 13:19: |
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Hallo
Ja, die Funktion ist tatsächlich injektiv. Ich würde folgenden Beweis vorschlagen:
Angenommen f(x1,y1)=f(x2,y2)
<=> x1+y1*sqrt(2)=x2+y2*sqrt(2)
<=> x1-x2=sqrt(2)*(y2-y1)
Offenbar (x1-x2) aus Q und (y2-y1) aus Q.
Angenommen y2-y1¹0, dann gilt
x1-x2=sqrt(2)*(y2-y1) aus R\Q. Widerspruch, also y2-y1=0, woraus y1=y2 und x1=x2 folgt.
MfG
Christian |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 15:09: |
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Vielen Dank Christian,
der Beweis íst noch besser !
Gruß
Kratas |
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