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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 142 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juli, 2004 - 12:46: |
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Aufgabe: Ist die Abbildung f: Q²->R , (x,y)->x+y*(sqrt2) injektiv ? Mit dem Weg über f(x1,y1) = f(x2,y2) => ... bin ich nicht klar gekommen, da hab ich das folgendermaßen versucht zu machen: Nehmen wir an man definiert: z:=x+y*(sqrt2),z€R Dann gilt: x= z - y(sqrt2) y= (z-x)/(sqrt2) Das Produkt einer irrationalen Zahl (sqrt2) und einer rationalen Zahl (y)ist stets eine irrationale Zahl,außer wenn y=0 ist. Es gibt also stets für z€Q ein eindeutiges Paar (z|0) und für z€ R\Q existiert ein solches nicht,wegen x,y€Q. Da es also immer nur ein Urbild gibt,ist die Funktion tatsächlich injektiv! Stimmts ? MfG Kratas |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1445 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juli, 2004 - 13:19: |
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Hallo Ja, die Funktion ist tatsächlich injektiv. Ich würde folgenden Beweis vorschlagen: Angenommen f(x1,y1)=f(x2,y2) <=> x1+y1*sqrt(2)=x2+y2*sqrt(2) <=> x1-x2=sqrt(2)*(y2-y1) Offenbar (x1-x2) aus Q und (y2-y1) aus Q. Angenommen y2-y1¹0, dann gilt x1-x2=sqrt(2)*(y2-y1) aus R\Q. Widerspruch, also y2-y1=0, woraus y1=y2 und x1=x2 folgt. MfG Christian |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 144 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 15:09: |
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Vielen Dank Christian, der Beweis íst noch besser ! Gruß Kratas |
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