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Potenzregel

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Sabile (Sabile)
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Mitglied
Benutzername: Sabile

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 18:37:   Beitrag drucken

Kann mir jemand das genau erklären , den ich verstehe es nicht so genau wie ich das mache.
Beweisen sie unter Verwendung der Produktregel, dass für natürliches n und y =x^n gilt y'=nx^(n-1)
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Suddenguest (Suddenguest)
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Junior Mitglied
Benutzername: Suddenguest

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 21:17:   Beitrag drucken

Induktion

x³=x*x*x
(x*x*x)'=[x*(x*x)]'=1*(x*x)+x*(x*x)'=1*(x*x)+x*(1*x+x*1)=x²+x(2x)=x²+2x²=3x²

x^4=x*x*x*x
(x*x*x*x)'=[x*(x*x*x)]'=1*(x*x*x)+x*(x*x*x)'=1*(x*x*x)+x*[1*(x*x)+x*(1*x+x*1)]=
=1*(x*x*x)+x*(x*x)+x*x*2x=x³+x[x²+x(2x)]=x³+3x³=4x³

x^5=x*x*x*x*x
(x*x*x*x*x)'=....
...=x^4+x[x³+x(x²+x(2x))]=x^4+4x^4=5x^4


(x^n)'=x^(n-1)+(n-1)x^(n-1)=nx^(n-1)

___________________________________________________________________________________________________
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Sabile (Sabile)
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Mitglied
Benutzername: Sabile

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 21:46:   Beitrag drucken

hmm währe toll ,wenn du auch ein wort dazu erklären könntest, was du gemacht hast mir kommt es mehr auf den rechen weg als auf die lösung an , danke dir
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2283
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 21:58:   Beitrag drucken

Vollständige Induktion:
es gilt für n=1
wenn es für n=m gilt,
also [x^m]' = m*x^(m-1)
dann
ist, nach der Produktregel

[x^(m+1)]' = [x*x^m]' = (x)'x^m+x*(x^m)'

[x^(m+1)]'= 1*x^m + x*m*x^(m-1) = x^m+m*x^m

[x^(m+1)]' = (m+1)x^[(m+1)-1],
also
die Regel (x^n)' = n*x^(n-1)
angewandt auf n = m+1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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