| Autor |
Beitrag |
    
Micpro (Micpro)
Neues Mitglied
Benutzername: Micpro
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 16:31: | 
|
Hallo,
vielleicht kann der Eine oder Andere von Euch mir bei den nachfolgenen Aufgaben behilflich sein.
1.
Eine Knetmasse von 1l Volumen soll zu einem Würfel, eine gleich grosse Masse zu einem Quader geformt werden. Beim Quader mit den Seiten a, b und c sollen die Seitenverhältnisse a/b und b/c dem Goldenen Verhältnis entsprechen.
Berechnen Sie die Kantenlänge des Würfels sowie die Seiten a, b und c des Quaders.
Also, die Sache mit dem Würfel ist ja noch in Ordnung, aber Lösungsvorschläge für den Quader wären echt super.
2.
Drücken Sie sin x aus durch:
a) cos x und b) tan x.
3.
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten zusammen 7 cm lang. Bestimmen Sie die einzelnen Längen der Katheten bei minimaler Hypotenuse.
Neben den Lösungen, wären die Lösungswege echt hilfreich.
Vielen Dank im voraus. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1207
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 21:12: |
|
Hi,
ich zeig dir so spät mal die zwei! Da is nämlich nix besonderes bei:
Es gilt:
a)
sin^2 + cos^2 = 1
sin^2 = 1 - cos^2
sin(x) = +-sqrt(1 - cos(x))
tan = sin / cos
tan^2 = sin^2 / cos^2
tan^2 = sin^2 / (1 - sin^2)
tan^2(1-sin^2) = sin^2
tan^2 = sin^2 + sin^2tan^2
sin^2 = tan^2 / (1 + tan^2)
sin(x) = +- tan(x) / sqrt(1 + tan^2(x))
mfg |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1046
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 00:31: |
|
Hi
Die Kantenlänge des Würfels ist klarerweise 1 dm (10 cm).
Nun zu dem interessanten Fall des goldenen Schnittes (Quader)!
Definition Goldener Schnitt:
Eine Strecke a wird so geteilt, dass sich die Länge der ganzen Strecke zu der größeren Strecke x so verhält wie diese (x) zur kleineren Strecke (a - x).
a : x = x : (a - x) ->>
x = (a/2)*(sqrt(5) - 1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Auf den Quader bezogen gilt:
a : b = b : (a - b)
und
b : c = c : (b - c)
(1) a² - ab = b²
(2) b² - bc = c²
-----------------
Wir müssen nun alle Längen in einer Variablen ausdrücken:
(1) b = (a/2)*(sqrt(5) - 1)
(2) c = (b/2)*(sqrt(5) - 1) = (a/4)(sqrt(5) - 1)²
V_Quader = abc ->>
(a³/8)*(sqrt(5) - 1)³ = 1 (dm³)
wir ziehen auf beiden Seiten die 3. Wurzel:
(a/2)*(sqrt(5) - 1) = 1 (dm)
->> a = 2/(sqrt(5) - 1) = 1,618 dm
Daraus folgen nach Einsetzen in (1) und (2) auch b und c
a = 1,618 dm
b = 1,000 dm
c = 0,618 dm
Wir ersehen aus diesem Ergebnis zwei bemerkenswerte Tatsachen, erstens, dass a : b = b : c (b² = a.c) sein muss.
Neben a.b.c = 1 würde dies allein aber noch nicht zur eindeutigen Bestimmung aller drei Seiten ausreichen. Es ist ausserdem zweitens auch noch a = b + c ! Das ist sicher nicht sofort eingängig, aber wenn man sich das Wesen der stetigen Teilung (des goldenen Schnittes) vergegenwärtigt, kommt man darauf: b ist der größere und c der kleinere Abschnitt der stetig geteilten Strecke a !
Nach allem können wir a priori auch so vorgehen:
Für die drei Längen muss gelten:
(3) a : b = b : c
(4) abc = 1
--------------
(3) b² = ac -> (4) -> b³ = 1 ->>
b = 1
°°°°°
Damit setzen wir für b = 1 in (1) und (2) von oben ein:
(1) a² - ab = b²
(2) b² - bc = c²
-----------------
(1) a² - a = 1
(2) 1 - c = c²
-----------------
(1) a² - a - 1 = 0; a > 0
a = (1 + sqrt(5))/2 = 1,618 dm
b = 1 dm
c = 0,618 dm
Gr
mYthos
|
Goliat (Goliat)
Junior Mitglied
Benutzername: Goliat
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 08:09: |
|
Hallo
Ich versuch mich an der Drei:
1)Für die Katheten gilt: a + b = 7 => b = 7- a
2)Für rechtwinkelige Dreiecke gilt außerdem:
a² + b² = c²
3)Nun setzt du für b in die zweite Gleichung ein und erhälst: 2a² - 14a + 49 = c²
4)1. Ableitung bilden: 4a - 14
5) Ableitung Null setzen => a = 7/2 => b = a = 7/2
6) Hypotenuse ausrechnen: c = 2*Wurzel(7/2)
7) Ergebnis: gleichscheneliges rechtwinkeliges Dreieck
Grüße Goliat
|
Micpro (Micpro)
Neues Mitglied
Benutzername: Micpro
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 11:33: |
|
Vielen Dank an T|198, Mythos2002 und Goliat.
Echt hilfreiche (und lehrreiche) Lösungswege.
Bis dann. Micha. |
|
