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Durchfallbremse

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Integralrechnung » Flächenberechnung » Durchfallbremse « Zurück Vor »

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Pepperpott (Pepperpott)
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Benutzername: Pepperpott

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 2004 - 11:39:   Beitrag drucken

Hallöle,
da die anstehende Arbeit katastrophal ausfallen wird, hatte die Lehrerin die Idee ,Aufgaben als 5er Bremse im Zeugnis, zu verteilen. Leider scheint das nicht ganz zu klappen. Ich bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe, bzw. einen Lösungsalgorithmus.

Die Funktion hat an Stelle 4 den Funktionswert -3. Die 1.Ableitung der Funktion f lautet: f?(x)= x^3/4 - 3x

a) ermittle die Funktionsgleichung
b) Berechne die Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und zeichne den Graph der Funktion [-5;5].
c) Berechne den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse.
d) Diese Flächenstücke rotieren um die x-Achse. Berechne das Volumen des Drehkörpers.


Die Funktionsgleichung habe ich relativ locker aufstellen können:

f?(x)= x^3/4 - 3x
f(x)= x^4/4*4 - 3x^2/2 + c
f(4)= 4^4/16 - 3*4^2/2 + c = -3 |-c|+3| : (-1)
f(4)= c = 5
F(x)= x^4/16 - 3x^2/2 + 5

Problematisch wirds beim Suchen der Nullstellen.
F(x) = 0
Beim überfliegen der Zahlen fällt auf, dass ich mit x= +/- 2 auf 0 komme, aber 2 weitere Stellen fehlen. DERIVE hat noch +/- 2* Wurzel aus 5 ausgespuckt, nur weis ich nicht wie ich das berechnen soll. Bei Fläche und Volumen stehe ich auch erst mal an.

lg
Frank




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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1340
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 2004 - 12:01:   Beitrag drucken

Hi,

ganz einfach:

setze x^2 = t

es wird:

x^4/16 - 3x^2/2 + 5 = 0

zu

t^2 - 24*t + 80 = 0

mit t1 = 20 und t2=4


daraus

x1 = sqrt(20) , x2 = -sqrt(20) , x3 = 2 und x4 = -2

mfg
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Pepperpott (Pepperpott)
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Benutzername: Pepperpott

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:36:   Beitrag drucken

thx, ein Problem weniger :-)

Extremwerte habe ich so berechnet:

f'(x)= 0
f'(x)= x³/4 - 3x = 0
x³=12x
x2=12
x= +/- 3,464

Wendepunkte:

f''(x)= 3x²/2 - 3 = 0
3x²-6=0
x²=2
x1,2 = +/- 1,414

Für die Fläche würde ich a= -sqrt 20 b= -2; a=-2 b=2 und a=2 b= +sqrt20 nehmen und in

A = F(b)-F(a) einsetzen und die 3 Teile addieren.

Auf die Rotation bin i leider noch net gekommen.

gruß
Frank
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1345
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 15:42:   Beitrag drucken

Hi,

ein paar weiter Tipps:

Extrema:

x^3 - 12x = 0
x ( x^2 - 12) = 0
x = 0 oder x^2 = 12
D.h.
x1 = 0 ; x2 = sqrt(12) ; x3= - sqrt(12)

Wendestellen ok

Nutze Symetrie aus:

int = 2 * [int1 + int2]

int1[ x^4/16 - 3/2 * x^2 + 5 dx] [0..2]

int2[ x^4/16 - 3/2 * x^2 + 5 dx] [2..sqrt(20)]

Kontrolle [ A = 25,6 ]

Formel zur Rotation V = pi * int[f(x)^2 dx]

mfg
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Pepperpott (Pepperpott)
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Benutzername: Pepperpott

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 10:05:   Beitrag drucken

Könntest du etwas ausführlicher erklären, was du beim Symmetrie ausnutzen tust?


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1346
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 14:14:   Beitrag drucken

Hi,

es gilt doch, wie du leicht nachrechnen kannst:

F(x) = F(-x)

also ist die Funktion symetrisch bezüglich der y-Achse. Das sieht man auch an einer guten Skizze!

Daher genügt es wenn wir den Flächeninhalt von 0 bis sqrt(20 berechnen und dann mal 2 nehmen, da der von 0 bis -sqrt(20) wegen der Symetrie den selben Inhalt hat!

mfg

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