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Abituraufgabe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Abituraufgabe « Zurück Vor »

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Katrin000 (Katrin000)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 148
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 15:31:   Beitrag drucken

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen F: x1-2x2 - 5x3 + 15 =
0, G:x1 -2x2 + x3 - 3 =0, die Gerade s: x= (-2;6,5;0) + s(1;-2;1), der Punkt A
(1;0;2) und der Punkt C (1;1;4) gegeben.
1) In der Ebene F legen zwei Punkte B und D eine Gerade d fest. Die Punkte B
und D können so gewählt werden, dass ABCD ein Rechteck ist, das in einer
Lotebene von s liegt. Berechnen Sie die Koordinaten von B und D.
2) Die Punkte A, B, C und D werden nun mit einem beliebigen Punkt T (T ungleich
(1;0,5;3) auf der Geraden s verbunden: Es entsteht die Pyramide ABCDT mit der
Spitze T.
a) Begründen Sie, dass ABCDT stets eine gerade Pyramide ist, d.h., dass alle
von T ausgehenden Kanten gleich lang sind.
b) Wie groß sind die auf Grad gerundeten Winkel zwischen den Seitenflächen und
der Grundfläche ABCD, wenn alle Eckpunkte der Pyramide von Z gleiche Entfernung
haben? (Hinweis: Die Berechnung der Koordinaten von T ist nicht erforderlich.)

Meine Überlegungen für 1):
Wenn das Rechteck in der Lotebene (also G) liegen soll, müssen doch die Punke B und D auch in G liegen, nicht?
Da B und D aber eine Gerade in F beschreiben, sollten die Punkte auch in F liegen??
Länge des Vektors BD sollte mit der Länge von AC übereinstimmen. Vektor AC und AB (bzw. AC und CD) sollten senkrecht aufeinander stehen.

Kann mir jemand weiterhelfen?
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3431
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 16:50:   Beitrag drucken

Hi Katrin



Schon wieder !
Prima vista Folgendes:
Die Aufgabe ist raffiniert formuliert, und sie ist
geeignet, Verwirrung zu stiften.

Stelle zuerst fest, dass die Ebene G senkrecht zur
Ebene F steht und dass die Gerade s die Schnittgerade
der beiden Ebenen ist.
Wie man das macht, zeige ich Dir später.

Berechne den Mittelpunkt M der Strecke AB,
die ganz in G liegt sowie die Länge L der Strecke AM.
Du stellst leicht fest, dass M auf der Ebene F liegt.

Lege eine Kugel mit Radius L und Mittelpunkt in M;
diese Kugel schneidet die Gerade s in den gesuchten
Punten B und D.


Am besten, Du stellst die Situation in einer
Lageskizze dar, das gibt Überblick!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3432
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 20:14:   Beitrag drucken

Hi Kathi

So einfach, wie ich zuerst meinte, ist die Aufgabe nicht.
Insbesondere ist die erwähnte Kugel nicht mit s,
sondern mit einer Geraden d zu schneiden, deren Gleichung
wir zuerst ermitteln müssen.

Doch der Reihe nach.
Die Punkte A und C liegen in der Ebene G, auch ihr Mittelpunkt
M, der zum Mittelpunkt des Rechtecks wird.
Die Koordinaten von M gewinnt man durch die
Bildung arithmetischer Mittel der Koordinaten von A und C;
es kommen: xM = 1, yM= ½, zM = 3.
Der Abstand L der Punke M und A ist ½ Wurzel(5).
Gleichung der Kugel mit Radius L und Mittelpunkt M:
Ku: (x-1)^2 + (y – ½ )^2 + (z -3) ^2 = 5/4

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3433
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 20:41:   Beitrag drucken

Hi Katrin,



Nachweis dafür, dass die Gerade s ganz in der Ebene F liegt:
Wir setzen die Koordinaten von s in die Ebenengleihung ein;
Dabei entsteht:
- 2 + s – 13 + 4 s – 5 s + 15 = 0
s fällt aus der Gleichung; die Relation ist für alle Werte des
Parameters s erfüllt, das heisst:
die Gerade s liegt ganz und gar in der Ebene F.

Hingegen liegt s nicht in der Ebene G, s schneidet die Ebene G
in genau einem Punkt und zwar in M,
wie Du leicht bestätigen kannst.

Schönheitsfehler in der Aufgabenstellung:
Man darf zwei verschiedene Dinge (Parameter und Gerade) nicht
mit demselben Symbol s bezeichnen.

Die Ebene G steht auf der Ebene F senkrecht;
Das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren ist null;
es gilt
1*1+ (-2) * (-2) +(-5) * 1 = 0

M liegt auf der Schnittgeraden beider Ebene F und G
Jetzt ist es an der Zeit, eine kleine Skizze zu machen.


Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3434
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 21:36:   Beitrag drucken

Hi Katrin

Vorbemerkung :
Die Gerade s ist NICHT Schnittgerade der beiden Ebenen
F und G, wie ich in einem Anflug von Euphorie zu Beginn
erklärt habe!

Um den ersten Teil abschliessen zu können,
ermitteln wir die Gerade d, auf der die
Ecken B und D des Rechtecks liegen müssen.
Nach dem Text sind es Punkte der Ebene F
andrerseits liegen sie in der Normalebene zu s
durch M.
Die Richtung von d erhalten wir somit als
Vektorprodukt v der Vektoren {1;-2;1},
dem Richtungsvektor von s,
und dem Vektor {1;-2;-5}, einem Normalenvektor
der Ebene F.
Wir rechnen: v = {12;6;0}= 6 {2;1:0]
Pro memoria: d geht durch M.

Damit entsteht als Gleichung für d mit t als
Parameter:
x = 1 + 2 t ; y = ½ + t ; z = 3

Nun schneiden wir diese Gerade mit der Kugel Ku:

Ku: (x-1)^2 + (y – ½ )^2 + (z -3) ^2 = 5/4
Koordinaten von d eingesetzt:
4 t^2 + t^2 = 5/4
t1 = ½ , t2 = - ½
also:
B(2/1/3), D(0/0/3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Kleine Kontrolle : Zeige ,dass AB und BC aufeinander
senkrecht stehen: 1 * (-1) + 1 * 0 + 1 * 1 = 0
wie es sich gehört!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 10:04:   Beitrag drucken

Vielen Dank! Können Sie mir auch noch bei 2) helfen??
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3435
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 10:42:   Beitrag drucken

Hi Katrin

Das Bisherige soll noch ein wenig diskutiert werden.
Wir haben das Rechteck!
Die Ecken sind:
A(1/0/2),B(0/0/3),C(1/1/4),D(2/1/3).

Bemerkungen I:

Die beiden Punkte B und C habe ich gegenüber der letzten
Arbeit vertauscht, damit die Punkte A, B, C, D in dieser
Reihenfolge einen Umlaufsinn des Rechtecks ergeben.

M (1/ ½ /3) ist der Mittelpunkt des Rechtecks:
M ist sowohl der Mittelpunkt der Strecke AC
als auch der Strecke BD.

Die Gleichung der Rechtecksebene lautet:
x – 2 y + z – 3 = 0; es ist die Ebene G!
Die Gerade s geht durch M und steht auf G
senkrecht !


Diese Tatsache ist zur Bewältigung der Teilaufgabe 2a)
von Bedeutung, weil s Träger der Pyramidenspitzen T
sein soll.
s ist bezüglich des Rechtecks eine Symmetrieachse für
räumliche Rotationssymmetrie.
Betrachte den Rotationskegel (gerader Kreiskegel)
mit dem Umkreis des Rechtecks als Leitkreis und s als
Rotationsachse, Spitze T.
Alle Mantellinien dieses Kegels haben gleiche Längen,
daher sind auch die Seitenkanten TA,TB,TC,TD
unter sich gleich lang.

Zur Lösung von 2b) habe ich eine Rückfrage bezüglich des
Aufgabentextes:
Welche der Pyramiden mit Spitzen T soll bezüglich
der Neigungswinkel von Seitenflächen näher untersucht
werden? Wie ist der Punkt Z genau definiert?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3436
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 13:07:   Beitrag drucken

Hi Katrin

Das Bisherige soll weiter diskutiert werden.
Grundlage: Ecken des Rechtecks:
A(1/0/2),B(0/0/3),C(1/1/4),D(2/1/3).

Bemerkungen II:

Wir berechnen noch die Fläche FL des Rechtecks ABCD auf
zwei Arten; man kann nie wissen, ob nicht nach dem
Volumen V der Pyramide gefragt wird!
Dazu bräuchte man FL, wegen V = 1/3 * FL* H,
mit H = MT (Höhe der Pyramide).

Seitenvektor AB = {-1;0;1}, Betrag: wurzel(2)
Seitenvektor BC = {1;1;1}, Betrag wurzel(3)
Fläche FL = wurzel(6)

Sei p das Vektorprodukt der beiden Vektoren
AB = {-1;0;1}und BC = {1;1;1};Resultat:
p = {-1;2-1};
Ex definitione gilt:
FL = absoluter Betrag von p , also
FL = wurzel (6) ,wie soeben.


Zur Lösung von 2b) habe ich eine Rückfrage bezüglich des
Aufgabentextes:
Welche der Pyramiden mit Spitzen T soll bezüglich
der Neigungswinkel von Seitenflächen näher untersucht
werden? Wie ist der Punkt Z genau definiert?


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Mosaer,megamath


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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 17:13:   Beitrag drucken

Danke! Ja, Z kam vorher schon in einer vorigen Aufgaben schon einmal vor und hat die Koordinaten Z(1;0,5;3)! :-)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3472
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 13:50:   Beitrag drucken

Hi Katrin

Der Punkt Z ist mit dem Mittelpunkt M des Rechtecks identisch!
Mit dieser Präzisierung kann auch 2b) endlich gelöst werden
und zwar ohne Benützung von Koordinaten.

Stelle von der Pyramide eine Skizze in schiefer
Parallelprojektion her!
T auf s ist die Spitze, das Rechteck ABCD mit dem
Mittelpunkt Z = M ist die Grundfläche der Pyramide
U sei der Mittelpunkt der Seite AB, V der Mittelpunkt
der Seite BC.
Wir wissen von früher:
Seitenlänge AB =wurzel(2), BC = wurzel(3)
Also AC = BD = wurzel (5), somit
ZU = ½ wurzel(3), ZV = ½ wurzel(2)


Höhe H der Pyramide: wegen der in der
Aufgabe gestellten Bedingung gilt:
H = ZT = ZA = ZB = ZC = ZD = ½ wurzel(5)

Neigungswinkel alpha der Seitenfläche TAB bezüglich
der Grundfläche ABCD :
tan (alpha) = ZT / ZU = wurzel(5)/wurzel(3)
Daraus alpha ~ 52,2°

Neigungswinkel beta der Seitenfläche TBC bezüglich
der Grundfläche ABCD :
tan (beta) = ZT / ZV = wurzl(5) / wurzel(2)
Daraus beta~ 57,7°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 152
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 09:56:   Beitrag drucken

Vielen herzlichen Dank!

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