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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 148 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 15:31: |
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen F: x1-2x2 - 5x3 + 15 = 0, G:x1 -2x2 + x3 - 3 =0, die Gerade s: x= (-2;6,5;0) + s(1;-2;1), der Punkt A (1;0;2) und der Punkt C (1;1;4) gegeben. 1) In der Ebene F legen zwei Punkte B und D eine Gerade d fest. Die Punkte B und D können so gewählt werden, dass ABCD ein Rechteck ist, das in einer Lotebene von s liegt. Berechnen Sie die Koordinaten von B und D. 2) Die Punkte A, B, C und D werden nun mit einem beliebigen Punkt T (T ungleich (1;0,5;3) auf der Geraden s verbunden: Es entsteht die Pyramide ABCDT mit der Spitze T. a) Begründen Sie, dass ABCDT stets eine gerade Pyramide ist, d.h., dass alle von T ausgehenden Kanten gleich lang sind. b) Wie groß sind die auf Grad gerundeten Winkel zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche ABCD, wenn alle Eckpunkte der Pyramide von Z gleiche Entfernung haben? (Hinweis: Die Berechnung der Koordinaten von T ist nicht erforderlich.) Meine Überlegungen für 1): Wenn das Rechteck in der Lotebene (also G) liegen soll, müssen doch die Punke B und D auch in G liegen, nicht? Da B und D aber eine Gerade in F beschreiben, sollten die Punkte auch in F liegen?? Länge des Vektors BD sollte mit der Länge von AC übereinstimmen. Vektor AC und AB (bzw. AC und CD) sollten senkrecht aufeinander stehen. Kann mir jemand weiterhelfen? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3431 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 16:50: |
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Hi Katrin Schon wieder ! Prima vista Folgendes: Die Aufgabe ist raffiniert formuliert, und sie ist geeignet, Verwirrung zu stiften. Stelle zuerst fest, dass die Ebene G senkrecht zur Ebene F steht und dass die Gerade s die Schnittgerade der beiden Ebenen ist. Wie man das macht, zeige ich Dir später. Berechne den Mittelpunkt M der Strecke AB, die ganz in G liegt sowie die Länge L der Strecke AM. Du stellst leicht fest, dass M auf der Ebene F liegt. Lege eine Kugel mit Radius L und Mittelpunkt in M; diese Kugel schneidet die Gerade s in den gesuchten Punten B und D. Am besten, Du stellst die Situation in einer Lageskizze dar, das gibt Überblick! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3432 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 20:14: |
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Hi Kathi So einfach, wie ich zuerst meinte, ist die Aufgabe nicht. Insbesondere ist die erwähnte Kugel nicht mit s, sondern mit einer Geraden d zu schneiden, deren Gleichung wir zuerst ermitteln müssen. Doch der Reihe nach. Die Punkte A und C liegen in der Ebene G, auch ihr Mittelpunkt M, der zum Mittelpunkt des Rechtecks wird. Die Koordinaten von M gewinnt man durch die Bildung arithmetischer Mittel der Koordinaten von A und C; es kommen: xM = 1, yM= ½, zM = 3. Der Abstand L der Punke M und A ist ½ Wurzel(5). Gleichung der Kugel mit Radius L und Mittelpunkt M: Ku: (x-1)^2 + (y – ½ )^2 + (z -3) ^2 = 5/4 Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3433 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 20:41: |
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Hi Katrin, Nachweis dafür, dass die Gerade s ganz in der Ebene F liegt: Wir setzen die Koordinaten von s in die Ebenengleihung ein; Dabei entsteht: - 2 + s – 13 + 4 s – 5 s + 15 = 0 s fällt aus der Gleichung; die Relation ist für alle Werte des Parameters s erfüllt, das heisst: die Gerade s liegt ganz und gar in der Ebene F. Hingegen liegt s nicht in der Ebene G, s schneidet die Ebene G in genau einem Punkt und zwar in M, wie Du leicht bestätigen kannst. Schönheitsfehler in der Aufgabenstellung: Man darf zwei verschiedene Dinge (Parameter und Gerade) nicht mit demselben Symbol s bezeichnen. Die Ebene G steht auf der Ebene F senkrecht; Das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren ist null; es gilt 1*1+ (-2) * (-2) +(-5) * 1 = 0 M liegt auf der Schnittgeraden beider Ebene F und G Jetzt ist es an der Zeit, eine kleine Skizze zu machen. Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3434 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 21:36: |
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Hi Katrin Vorbemerkung : Die Gerade s ist NICHT Schnittgerade der beiden Ebenen F und G, wie ich in einem Anflug von Euphorie zu Beginn erklärt habe! Um den ersten Teil abschliessen zu können, ermitteln wir die Gerade d, auf der die Ecken B und D des Rechtecks liegen müssen. Nach dem Text sind es Punkte der Ebene F andrerseits liegen sie in der Normalebene zu s durch M. Die Richtung von d erhalten wir somit als Vektorprodukt v der Vektoren {1;-2;1}, dem Richtungsvektor von s, und dem Vektor {1;-2;-5}, einem Normalenvektor der Ebene F. Wir rechnen: v = {12;6;0}= 6 {2;1:0] Pro memoria: d geht durch M. Damit entsteht als Gleichung für d mit t als Parameter: x = 1 + 2 t ; y = ½ + t ; z = 3 Nun schneiden wir diese Gerade mit der Kugel Ku: Ku: (x-1)^2 + (y – ½ )^2 + (z -3) ^2 = 5/4 Koordinaten von d eingesetzt: 4 t^2 + t^2 = 5/4 t1 = ½ , t2 = - ½ also: B(2/1/3), D(0/0/3) °°°°°°°°°°°°°°°°°° Kleine Kontrolle : Zeige ,dass AB und BC aufeinander senkrecht stehen: 1 * (-1) + 1 * 0 + 1 * 1 = 0 wie es sich gehört! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 149 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 10:04: |
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Vielen Dank! Können Sie mir auch noch bei 2) helfen?? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3435 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 10:42: |
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Hi Katrin Das Bisherige soll noch ein wenig diskutiert werden. Wir haben das Rechteck! Die Ecken sind: A(1/0/2),B(0/0/3),C(1/1/4),D(2/1/3). Bemerkungen I: Die beiden Punkte B und C habe ich gegenüber der letzten Arbeit vertauscht, damit die Punkte A, B, C, D in dieser Reihenfolge einen Umlaufsinn des Rechtecks ergeben. M (1/ ½ /3) ist der Mittelpunkt des Rechtecks: M ist sowohl der Mittelpunkt der Strecke AC als auch der Strecke BD. Die Gleichung der Rechtecksebene lautet: x – 2 y + z – 3 = 0; es ist die Ebene G! Die Gerade s geht durch M und steht auf G senkrecht ! Diese Tatsache ist zur Bewältigung der Teilaufgabe 2a) von Bedeutung, weil s Träger der Pyramidenspitzen T sein soll. s ist bezüglich des Rechtecks eine Symmetrieachse für räumliche Rotationssymmetrie. Betrachte den Rotationskegel (gerader Kreiskegel) mit dem Umkreis des Rechtecks als Leitkreis und s als Rotationsachse, Spitze T. Alle Mantellinien dieses Kegels haben gleiche Längen, daher sind auch die Seitenkanten TA,TB,TC,TD unter sich gleich lang. Zur Lösung von 2b) habe ich eine Rückfrage bezüglich des Aufgabentextes: Welche der Pyramiden mit Spitzen T soll bezüglich der Neigungswinkel von Seitenflächen näher untersucht werden? Wie ist der Punkt Z genau definiert? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3436 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 13:07: |
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Hi Katrin Das Bisherige soll weiter diskutiert werden. Grundlage: Ecken des Rechtecks: A(1/0/2),B(0/0/3),C(1/1/4),D(2/1/3). Bemerkungen II: Wir berechnen noch die Fläche FL des Rechtecks ABCD auf zwei Arten; man kann nie wissen, ob nicht nach dem Volumen V der Pyramide gefragt wird! Dazu bräuchte man FL, wegen V = 1/3 * FL* H, mit H = MT (Höhe der Pyramide). Seitenvektor AB = {-1;0;1}, Betrag: wurzel(2) Seitenvektor BC = {1;1;1}, Betrag wurzel(3) Fläche FL = wurzel(6) Sei p das Vektorprodukt der beiden Vektoren AB = {-1;0;1}und BC = {1;1;1};Resultat: p = {-1;2-1}; Ex definitione gilt: FL = absoluter Betrag von p , also FL = wurzel (6) ,wie soeben. Zur Lösung von 2b) habe ich eine Rückfrage bezüglich des Aufgabentextes: Welche der Pyramiden mit Spitzen T soll bezüglich der Neigungswinkel von Seitenflächen näher untersucht werden? Wie ist der Punkt Z genau definiert? Mit freundlichen Grüßen H.R.Mosaer,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 151 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 17:13: |
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Danke! Ja, Z kam vorher schon in einer vorigen Aufgaben schon einmal vor und hat die Koordinaten Z(1;0,5;3)! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3472 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 13:50: |
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Hi Katrin Der Punkt Z ist mit dem Mittelpunkt M des Rechtecks identisch! Mit dieser Präzisierung kann auch 2b) endlich gelöst werden und zwar ohne Benützung von Koordinaten. Stelle von der Pyramide eine Skizze in schiefer Parallelprojektion her! T auf s ist die Spitze, das Rechteck ABCD mit dem Mittelpunkt Z = M ist die Grundfläche der Pyramide U sei der Mittelpunkt der Seite AB, V der Mittelpunkt der Seite BC. Wir wissen von früher: Seitenlänge AB =wurzel(2), BC = wurzel(3) Also AC = BD = wurzel (5), somit ZU = ½ wurzel(3), ZV = ½ wurzel(2) Höhe H der Pyramide: wegen der in der Aufgabe gestellten Bedingung gilt: H = ZT = ZA = ZB = ZC = ZD = ½ wurzel(5) Neigungswinkel alpha der Seitenfläche TAB bezüglich der Grundfläche ABCD : tan (alpha) = ZT / ZU = wurzel(5)/wurzel(3) Daraus alpha ~ 52,2° Neigungswinkel beta der Seitenfläche TBC bezüglich der Grundfläche ABCD : tan (beta) = ZT / ZV = wurzl(5) / wurzel(2) Daraus beta~ 57,7° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 152 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 09:56: |
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Vielen herzlichen Dank! |
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