Autor |
Beitrag |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 145 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 17:57: |
|
Gegeben sind die Ebenen E1: x1-2x2+3x3-7 =0 E2: 2x1 + 3x2 - x3 + 7 =0 g:x= (1;6;6) + s(2;3;6) Punkt P(7/15/24) hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Gesucht ist nun ein Punkt Q, der ebenfalls von beiden Ebenen den gleichen Abstand hat. Im Unterricht haben wir die Aufgabe mit Hilfe von Geraden, die senkrecht zu den Ebenen standen, gelöst. Q(-1/3/0) Nun würde mich interessieren, ob man auch mithilfe der HNF auf diese Lösung kommen kann. Mein Ansatz: HNF(E1) = (x1-2x2 - 3x3-7)/Wurzel (14) = 0 HNF(E2) = (2x1+3x2-x3 +7)/(Wurzel 14) = 0 Gerade g: x1 = 1 + 2s x2 = 6 + 3s x2 = 6 + 6s Wenn man die Koordinaten in E1 einsetzt, erhält man 14s. Koordinaten in E2: 7s + 21 Gleichsetzen: 7s + 21 = 14s Aufgelöst ergibt s = 3 In die Gleichung für g eingesetzt ergibt das den Punkt P. Es muss aber doch auch eine Weg geben, mit dem man über die HNF auf Q kommen kann.. Kann jemand helfen? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3419 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 20:12: |
|
Hi Katrin, Deine Frage kann positiv beantwortet werden, indem man mit Hilfe der Abstandsformel von Hesse, zu deren Gebrauch man bekanntlich die Normalformen der beteiligten Ebenen benötigt, einsetzt. Wir bestimmen die so genanten Winkelhalbierungsebenen W1 und W2, indem wir fordern: 1.Fall Der laufende Punkt Po(xo/yo/zo) auf W1 hat von den gegebenen Ebenen je gleiche Abstände. Es gelte also D1 = D2 mit D1 = (xo - 2yo + 3zo -7)/ Wurzel (14) D2 = (2xo+3yo- zo +7)/Wurzel (14) Es entsteht, nach Vereinfachungen, als Gleichung der Ebene W1: x + 5y – 4 z + 14 = 0 Die Gerade g schneidet W1 im Punkt P(7/15 /24) 2.Fall Der laufende Punkt Po(xo/yo/zo) auf W2 hat von den gegebenen Ebenen je entgegengesetzt gleiche Abstände Es gelte also D1 = - D2 mit D1 = (xo - 2yo + 3zo -7)/ Wurzel (14) D2 = (2xo+3yo- zo +7)/Wurzel (14) Es entsteht, nach Vereinfachungen, als Gleichung der Ebene W2: 3 x + y = 0 Die Gerade g schneidet W2 im Punkt Q(-1/ 3/ 0) ACHTUNG: in Deiner HNF(E1) gibt es einen Vorzeichenfehler ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 146 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 11:58: |
|
Danke! Wie genau wurde vereinfacht?? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3424 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:36: |
|
Hi Katrin Ich habe (nicht ganz) genau gerechnet, nach allen Regeln der Kunst; Terme weggehoben, soweit das ging, insbesondere die Wurzel 14, die links und rechts im Nenner auftritt. Ich führe Dir die Berechnung für den zweiten Fall im Détail vor: D1 = - D2 mit D1 = (xo - 2yo + 3zo -7)/ Wurzel (14) D2 = (2xo+3yo - zo +7)/Wurzel (14) führt auf die Gleichung (xo-2yo+3zo -7)/Wurzel (14) = - 2xo -3yo + zo -7)/ Wurzel (14) Du kannst den Index o überall weglassen; es kommt der Reihe nach: x -2 y + 3 z – 7 = - 2 x – 3 y + z – 7 geordnet: 3 x + y + 2 z = 0 °°°°°°°°°°°°°°°° Es entsteht als Gleichung der Ebene W2: 3 x + y + 2 z = 0 Die Gerade g schneidet W2 im Punkt Q( -1/ 3/ 0) NB In meiner früheren Arbeit hat sich ein Fehler eingenistet. Jetzt sollte alles stimmen! Ich mache eine kleine Kontrolle: Die Winkelhalbierungsebenen müssen sich senkrecht schneiden n1= {1;5;-4} ist ein Normalenvektor von W1 n2= {3;1;2} ist ein Normalenvektor von W2 Du erkennst: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist null, wie es sein muss: n1. n2 = 1*3 + 5*1 – 4*2 = 0 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3430 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 21:07: |
|
Hi Katrin Man kann Diene Aufgabe noch etwas auspressen. und dabei etwas dazu lernen. Bestimme die Schnittpunkte S1,S2 von g mit den Ebenen E1 und E2. Aug g liegen 4 Punkte, deren Koordinaten wir kennen. Gemeint sied die Punkte P, Q , S1, S2 Man berechne die Teilverhältnisse (fakultativ) v1 = (P S1) / ( S1 Q) v2 = (P S2) / ( S2 Q) Resultate S1(1/6/6), S2(-5/-3/-12) V1 = 3 V2 = -3 Die Teilverhältnisse sind entgegengesetzt gleich: Innere Teilung der Strecke PQ durch S1 Aeussere Teilung der Strecke PQ durch S2. Betragsmäßig dasselbe Resultat: Man sagt: die vier Punkte P Q S1 S2 liegen harmonisch. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 147 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 15:26: |
|
Vielen herzlichen Dank! Ich drucke das gleich mal aus und melde mich sonst noch mal! |
|