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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 145
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 17:57: | 
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Gegeben sind die Ebenen
E1: x1-2x2+3x3-7 =0
E2: 2x1 + 3x2 - x3 + 7 =0
g:x= (1;6;6) + s(2;3;6)
Punkt P(7/15/24) hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Gesucht ist nun ein Punkt Q, der ebenfalls von beiden Ebenen den gleichen Abstand hat.
Im Unterricht haben wir die Aufgabe mit Hilfe von Geraden, die senkrecht zu den Ebenen standen, gelöst.
Q(-1/3/0)
Nun würde mich interessieren, ob man auch mithilfe der HNF auf diese Lösung kommen kann.
Mein Ansatz:
HNF(E1) = (x1-2x2 - 3x3-7)/Wurzel (14) = 0
HNF(E2) = (2x1+3x2-x3 +7)/(Wurzel 14) = 0
Gerade g:
x1 = 1 + 2s
x2 = 6 + 3s
x2 = 6 + 6s
Wenn man die Koordinaten in E1 einsetzt, erhält man 14s.
Koordinaten in E2: 7s + 21
Gleichsetzen: 7s + 21 = 14s
Aufgelöst ergibt s = 3
In die Gleichung für g eingesetzt ergibt das den Punkt P. Es muss aber doch auch eine Weg geben, mit dem man über die HNF auf Q kommen kann.. Kann jemand helfen? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3419
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 20:12: |
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Hi Katrin,
Deine Frage kann positiv beantwortet werden, indem man mit Hilfe der
Abstandsformel von Hesse, zu deren Gebrauch man bekanntlich die
Normalformen der beteiligten Ebenen benötigt, einsetzt.
Wir bestimmen die so genanten Winkelhalbierungsebenen W1 und W2,
indem wir fordern:
1.Fall
Der laufende Punkt Po(xo/yo/zo) auf W1 hat von den gegebenen Ebenen
je gleiche Abstände.
Es gelte also D1 = D2 mit
D1 = (xo - 2yo + 3zo -7)/ Wurzel (14)
D2 = (2xo+3yo- zo +7)/Wurzel (14)
Es entsteht, nach Vereinfachungen, als Gleichung der Ebene W1:
x + 5y – 4 z + 14 = 0
Die Gerade g schneidet W1 im Punkt P(7/15 /24)
2.Fall
Der laufende Punkt Po(xo/yo/zo) auf W2 hat von den gegebenen Ebenen
je entgegengesetzt gleiche Abstände
Es gelte also D1 = - D2 mit
D1 = (xo - 2yo + 3zo -7)/ Wurzel (14)
D2 = (2xo+3yo- zo +7)/Wurzel (14)
Es entsteht, nach Vereinfachungen, als Gleichung der Ebene W2:
3 x + y = 0
Die Gerade g schneidet W2 im Punkt
Q(-1/ 3/ 0)
ACHTUNG:
in Deiner HNF(E1) gibt es einen Vorzeichenfehler !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 11:58: |
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Danke! Wie genau wurde vereinfacht?? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3424
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:36: |
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Hi Katrin
Ich habe (nicht ganz) genau gerechnet, nach allen Regeln der Kunst;
Terme weggehoben, soweit das ging, insbesondere die
Wurzel 14, die links und rechts im Nenner auftritt.
Ich führe Dir die Berechnung für den zweiten Fall im
Détail vor:
D1 = - D2 mit
D1 = (xo - 2yo + 3zo -7)/ Wurzel (14)
D2 = (2xo+3yo - zo +7)/Wurzel (14) führt auf die Gleichung
(xo-2yo+3zo -7)/Wurzel (14) = - 2xo -3yo + zo -7)/ Wurzel (14)
Du kannst den Index o überall weglassen;
es kommt der Reihe nach:
x -2 y + 3 z – 7 = - 2 x – 3 y + z – 7
geordnet:
3 x + y + 2 z = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°
Es entsteht als Gleichung der Ebene W2:
3 x + y + 2 z = 0
Die Gerade g schneidet W2 im Punkt
Q( -1/ 3/ 0)
NB
In meiner früheren Arbeit hat sich ein Fehler eingenistet.
Jetzt sollte alles stimmen!
Ich mache eine kleine Kontrolle:
Die Winkelhalbierungsebenen müssen sich senkrecht
schneiden
n1= {1;5;-4} ist ein Normalenvektor von W1
n2= {3;1;2} ist ein Normalenvektor von W2
Du erkennst:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist null,
wie es sein muss:
n1. n2 = 1*3 + 5*1 – 4*2 = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3430
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 21:07: |
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Hi Katrin
Man kann Diene Aufgabe noch etwas auspressen.
und dabei etwas dazu lernen.
Bestimme die Schnittpunkte S1,S2 von g mit den Ebenen
E1 und E2.
Aug g liegen 4 Punkte, deren Koordinaten wir kennen.
Gemeint sied die Punkte P, Q , S1, S2
Man berechne die Teilverhältnisse (fakultativ)
v1 = (P S1) / ( S1 Q)
v2 = (P S2) / ( S2 Q)
Resultate
S1(1/6/6), S2(-5/-3/-12)
V1 = 3
V2 = -3
Die Teilverhältnisse sind entgegengesetzt gleich:
Innere Teilung der Strecke PQ durch S1
Aeussere Teilung der Strecke PQ durch S2.
Betragsmäßig dasselbe Resultat:
Man sagt: die vier Punkte P Q S1 S2 liegen harmonisch.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 15:26: |
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Vielen herzlichen Dank! Ich drucke das gleich mal aus und melde mich sonst noch mal! |
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