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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 17:26: | 
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In einem kartesischen Koordinatensystem des R³ ist die Ebene H: x1 + x2 + x3 - 8
= 0 sowie die Schar von Geraden ga: x = (a²; 0; -a²) + s(3a;-3a;8) gegeben.
a) Welche dieser Geraden schneit H unter dem größten Winkel?
b) Zeigen Sie, dass der Punkt S(-2;6;4) derjenige Punkte aus der Schar der
Schnitpunkte Sa ist, der die geringste Entfernung vom Ursprung hat. Geben Sie
diese Entfernung an.
c) Die Punkte Sa bilden in H eine Kurve. Diese wird parallel zur x3-Achse in
die x1x2-Ebene projiziert; die Projektion heißt P. Fertigen Sie eine Zeichnung
von P in der x1x2-Ebene an. Um welchen Kurventyp handelt es sich bei P
vermutlich? Überprüfen Sie ihre Vermutung, indem sie eine Koordinatengleichung
von P aufstellen.
Danke im voraus! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3406
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 07:07: |
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Hi Katrin
Dass diese Aufgabe nicht ganz einfach ist,
kannst Du daran erkennen,
dass bis jetzt noch keine Lösungsideen vorliegen.
Ich will versuchen, das Nötigste nachzuholen.
Vorbemerkungen:
bei uns in den Bergen hat es zurzeit genug Schnee,
es ist nicht nötig, dass die Geraden weiterhin schneien.
Was die Koordinaten betrifft: ich verwende die
Bezeichnung x,y,z statt x1,x2,x3.
Lösung der Teilaufgabe a).
Der Schnittwinkel phi einer Geraden g mit einer Ebene E ist
der komplementäre Winkel zum Winkel psi der Geraden g
mit der Normalen n der Ebene E; es gilt somit
phi = 90° - psi.
Den Winkel psi berechnen wir auf die bekannte Weise mit Hilfe
des Skalarprodukts der Vektoren
v = {3a; -3a ; 8} und n = {1;1;1};
v ist ein Richtungsvektor von g , n ist Normalenvektor von E.
Die bekannte Formel zur Berechung des Winkels zweier Vektoren
ergibt:
cos (psi) = (v.n) / [abs(v)*abs(n)]
Im Zähler steht das Skalarprodukt, im Nenner das Produkt der
Beträge der Vektoren n und v. Weiter:
cos(psi) = (3a -3a +8) / [sqrt(18 a^2 + 64) * sqrt 3] ,also:
cos (psi) = 8 / [sqrt(18 a^2 + 64) * sqrt 3].
NB.: cos(psi) = sin (phi), wegen der Komplementarität der Winkel.
Es geht um die Frage: für welchen Wert von a wird phi maximal.
Dies ist der Fall, wenn sin (phi) maximal wird.
Letzteres trifft zu, wenn der Nenner des obigen Bruches minimal ist.
M.a.W.: wir suchen denjenigen Wert von a, für den
die Wurzel sqrt(18 a^2 + 64) minimal ist.
Dies ist offensichtlich für a = 0 zutreffend.
Den maximalen Neigungswinkel phi* berechnen wir so:
sin(phi*) =8/(8*sqrt3) = 1 / sqrt(3);
daraus
phi* ~ 35,26°.
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3407
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 08:07: |
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Hi Katrin,
Teilaufgabe b)
Berechnung der Koordinaten x(a),y(a),z(a) des Schnittpunktes Sa
von g mit E:
Durch Einsetzen der Koordinaten von g in die Gleichung von E kommt:
(a^2 + 3 a s ) + (- 3 a s ) + (- a^2 + 8 s ) = 8;
es entsteht eine Gleichung für s:
8 s = 8 , also s = 1; dies führt auf die gesuchten Koordinaten:
x(a) = a^2 + 3a
y(a) = - 3 a
z(a) = - a^2 + 8
Nun berechnen wir das Quadrat des Abstandes D des Punktes Sa
vom Nullpunkt:
Ergebnis:
D^2 = (a ^ 2 + 3 a) ^ 2 + (-3 a) ^ 2 + (- a ^ 2 + 8 ) ^ 2 =
2 a ^ 4 + 6 a ^ 3 + 2 a ^ 2 + 64 = 2 * f(a)
wobei f(a) = a^4 + 3 a^3 + a^2 + 32
Wir ermitteln das Extremum der Funktion f(a) durch Differentiation:
f ´(a) = 4 a^3+ 9 a ^2 + 2 a
Nullstellen von f ´(a): a1 = 0 ; a2 = - ¼ ; a3 = - 2
Der a-Wert a3 = -2 liefert das gewünschte Resultat, denn die
zweite Ableitung f ´´(a) = 12 a^2 + 18 a ist an dieser Stelle positiv;
es liegt ein Minimum für D^2 und damit auch für D vor.
Setzen wir den Parameterwert a = - 2 ein, so bekommen wir den
Punkt S(-2;6;4),wie in der Aufgabenstellung vorausgesagt
Dmin = sqrt(4+36+16) = sqrt(56)
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 12:34: |
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Jetzt schon einmal vielen Dank! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3408
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 13:31: |
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Hi Katrin
Teilaufgabe c)
Wir haben für die Koordinaten des Durchstoßpunktes Sa in
der Teilaufgabe b) die folgenden Resultate erhalten:
x(a) = a^2 + 3a
y(a) = - 3 a
z(a) = - a^2 + 8
Der Punkt Sa beschreibt in der Ebene H : x + y + z = 8 eine
Kurve C, deren Orthogonalprojektion P in der (x,y)-Ebene durch
die ersten beiden Parametergleichungen
x = a^2 + 3a
y = - 3 a
dargestellt wird.
Eliminieren wir a, indem wir ya = - a/3 in die erste Gleichung
einsetzen, so entsteht die parameterfreie Gleichung:
9 x = y^2 – 9 y
Das ist eine Parabel mit den Scheitelpunktskoordinaten
xT = -9/4 ; y T = 9/2.
Die Parabel geht durch den Nullpunkt
Die Parabelachse ist zur x-Achse parallel.
Dies festzustellen und zu begründen, ist wieder
eine andere Geschichte.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3409
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 13:46: |
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Hi Katrin,
Wir machen eine kleine Probe:
Die Projektion S´(-2/4/0) des in der Tellaufgabe b)
ermittelten Punktes S(-2/6/4) auf die (x,y)-Ebene
muss auf der Parabel 9 x = y^2 – 9 y liegen!
In der Tat: die Koordinaten von S´ erfüllen die
Gleichung der Parabel P.
NB:
Die Originalkurve C in der Ebene H,
deren Normalprojektion P ist und
nach der zum Glück nicht gefragt wurde,
ist ebenfalls eine Parabel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 17:51: |
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Vielen Dank! |
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