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Funktionsschar Differenzierung

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Tigermichi111 (Tigermichi111)
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Neues Mitglied
Benutzername: Tigermichi111

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 10:49:   Beitrag drucken

Habe Probleme bei einer Aufgabe, vielleicht kann mir jemand helfen:

Überprüfen Sie, für welche Parameter a die Funktionsschar

fa(x) = -x² - ax - 2a + 4 für x kleiner-gleich -1
und a*x + 3 für x größer -1

an der Übergangsstelle x0 = -1 differenzierbar ist.
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Kratas (Kratas)
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Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 20:03:   Beitrag drucken

Zuerst muss die Stelle auf Stetigkeit überprüft werden.Es muss gelten: lim (x->x0) f(x)=f(x0)
Man muss also klären, ob der links-und rechtsseitige Grenzwertan der Stelle x0 (sofern vorhanden!)mit dem Funktionswerte an der Stelle x0 übereinstimmt.

l-lim (x->-1)fa(x)= lim (-x^2-ax-2a+4)=-a+3
r-lim (x->-1)fa(x)= lim (ax+3) = -a+3
->>>Grenzwert ist vorhanden.<<<<-

Da für x=1 -x^2-ax-2a+4 gilt,gilt:
f(-1)= -a+3 = lim(x->-1) fa(x) und somit ist Funktion an der Stelle x0 stetig.(Voraussetzung für Differenzierbarkeit)

Untersuchung der Ableitung:
f´a(x)= -2x-a für x<_1
........a.....für x>1

Für die Differenzierbarkeit muss l-lim f´mit r-lim f´übereinstimmen:

l-lim (x->-1) f´a(x)=lim (-2x-a)=2-a
r-lim (x->-1) f´a(x)=lim (a)= a

Es muss also gelten:
2-a = a
a = 1
************
FAZIT: Nur für a=1 ist die Funktion an der Stelle x0=-1 differenzierbar.

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