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Brauche dringend wieder eure Hilfe!!

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Anastäschen (Anastäschen)
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Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 12:09:   Beitrag drucken

Hallo ihr tollen Helfer,
nun habe ich endlich Zeit mich wieder mit Mathe zu beschäftigen.Leider komme ich bei meinen vielen Aufgaben nicht richtig weiter. Die ff. Aufg. Machen mir sehr zu schaffen.

1.Aufgabe:Einer Halbkugel vom Radius r ist ein gerader Kreiskegel mit maximalen Volumen so einzubeschreiben ,dass die Kegelspitze mit dem Kugelmittelpunkt zusammen fällt.

2.Aufgabe:In eine Kugel vom Radius r soll der gerade Kreiskegel von maximalen Volumen einbeschrieben werden.

3.Einem geraden Kreiskegel vom Radius r und der Höhe h soll der gerade Kreiszylinder mit maximaler Mantelfläche einbeschrieben werden.Welche Abmessungen hat er?

4.Aufgabe: Es sind zwei positive Zahlen zu ermitteln ,deren Summe gleich einer Zahl a ist ,und für die die Summe ihren Kuben minimal ist.

Könnt ihr mir bitte ,bitte helfen????

Vielen Dank im Vorraus!!
Anastäschen
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 12:31:   Beitrag drucken

Hallo Anastäschen,
das sind alles "Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen". Der Trick ist an sich immer der gleiche: Du stellst du zu maximierende (oder minimierende) Größe auf. Die ist in aller Regel von mehr als einer Variablen abhängig. Diese versuchst du durch die Nebenbedingungen zu reduzieren bis du nur noch eine Variable hast.
zu 1.) Die zu maximierende Größe ist das Kegelvolumen V=1/3r*²ph. Ich nenne den Kegelradius r* weil r ja bereits der Kugelradius ist. Dieses Volumen ist nun abhängig von r* und h, die stehen über den Satz des Pythagoras is der Beziehung r*² + h² = r² (Skizze!), damit kannst du V schreiben als
V= 1/3(r²-h²)ph, das ist eine Funktion mit der Funktionsvariablen h, denn r ist ja eine gegeben Größe. Das heißt, du hast eine Funktion V(h) = 1/3(r²-h²)ph von der du das Maximum suchst. (Ableiten, 1.Ableitung gleich 0 setzen, du weißt schon...)
Meinst du, du kannst die anderen Aufgaben jetzt allein?
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Anastäschen (Anastäschen)
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Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 08:04:   Beitrag drucken

Vielen Dank für deinen Ansatz.
Das ist ja gerade mein Problem ,den Ansatz bei diesen Aufgaben zu finden.Deshalb komm ich ja auch nicht mit den anderen 3 klar.Könnt ihr mir bitte weiter helfen???
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1891
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 09:05:   Beitrag drucken

2)
beizeichne den Abstand des Kegelbasismittelpunktes vom Kugelmittelpunk
mit x
Die Kegelhöhe ist dann r+x, der Kegelradius R = Wurzel(r²-x²)

3)
bezeichne den Abstand der Zylinderdeckfläche von der Kegelspitze mit x.
Der Zylinderradius ist dann ( Strahlensätze ) R = r*x/h,
die
Zylinderhöhe H = h-x

4)
eine der Zahlen sei x, dann ist die andere (a-x),
die
Summe der Kuben also s(x) = x³+(a-x)³

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Anastäschen (Anastäschen)
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Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 14:15:   Beitrag drucken

Hallo ihr Lieben ,

hab versucht die Aufgabe zu rechnen, hab aber noch 2 Fragen :
zu Aufgabe 1: hab die 1.Ableitung 0 gesetzt und komme auf h² = (1/3 *Pi* r² )/ Pi ist da h = Wurzel ( 1/3 r²) ?
und meine Frage zu Aufgabe 2 : ist die Funk. so. : V(x)= 1/3* Pi *( r²- x²) * (r +x) ?? dann multiplizier ich das alles aus und leite ab V`(x) = 1/3 * Pi *r² - 2/3 *Pi *r *x – Pi *x² ? Komme beim 0 setzen net mehr klar.

Bitte helft mir!!

Wie ist der Anfang zu dieser Aufgabe : Die Summe der Quadrate zweier positiver Zahlen ,deren Summe 10 ergibt ,soll minimal sein??

Helft mir bitte!!!

Danke
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 14:37:   Beitrag drucken

Die Funktion war V(h)=1/3(r²-h²)ph, die musst du erst mal ausmultiplizieren:
V(h)=p/3(r²h-h³). Wenn du die 1.Ableitung bildest bleibt der Faktor vor der Klammer erhalten, also V'(h)=p/3(r²-3h²).
V'(h)=0 wenn die Klammer gleich 0 ist, also für r²-3h²=0, liefert h=r/sqrt 3
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Klausrudolf (Klausrudolf)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf

Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 17:23:   Beitrag drucken

Zum Nachsatz : Seien a,b die gesuchten Zahlen
Forderung: F(a,b) = a*a + b*b minimal
Nebenbed. : a + b = 10 oder b = 10 - a
Folgerung F(a,b) = F(a) = a*a + (10 - a)**2
F'(a) = 2*a - 10 = 0 ==> a = b = 5
oder auspronieren (a < 10, b < 10 )

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Anastäschen (Anastäschen)
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Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 08:26:   Beitrag drucken

Vielen Dank ihr Lieben,
komme bloß bei Aufgabe 2 net weiter.Jedesmal kommt ein neg. Ergebnis raus und das kann nicht sein.Könnt ihr mir helfen???

Wünsch euch jetzt schonmal einen guten Rutsch!!
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 09:56:   Beitrag drucken

also, Anastäschen, mit dem Ansatz den Friedrich dir oben schon gezeigt hat ist das Kegelvolumen (Kegelradius r*, Kegelhöhe h)
V=1/3r*²ph = 1/3(r²-x²)p(x+r) =
p/3(-x³-rx²+r²x+r³). Deine zu maximierende Funktion ist also
V(x) = p/3(-x³-rx²+r²x+r³)
Die Ableitung ist V'(x) = p/3(-3x²-2rx+r²), die ist gleich 0 wenn die Klammer gleich 0 ist, also -3x²-2rx+r²=0. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bekommst du
x1,2 = (2r+-sqrt(4r²+12r²))/(-6) und damit x1=-r (keine Lösung,da negativ) und x2=2/3r
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Anastäschen (Anastäschen)
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Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 16:15:   Beitrag drucken

Vielen vielen Dank!!!!
Bin so froh ,dass es solche lieben Leute ,wie euch gibt!!

Danke!!!

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