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Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 12:09: |
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Hallo ihr tollen Helfer, nun habe ich endlich Zeit mich wieder mit Mathe zu beschäftigen.Leider komme ich bei meinen vielen Aufgaben nicht richtig weiter. Die ff. Aufg. Machen mir sehr zu schaffen. 1.Aufgabe:Einer Halbkugel vom Radius r ist ein gerader Kreiskegel mit maximalen Volumen so einzubeschreiben ,dass die Kegelspitze mit dem Kugelmittelpunkt zusammen fällt. 2.Aufgabe:In eine Kugel vom Radius r soll der gerade Kreiskegel von maximalen Volumen einbeschrieben werden. 3.Einem geraden Kreiskegel vom Radius r und der Höhe h soll der gerade Kreiszylinder mit maximaler Mantelfläche einbeschrieben werden.Welche Abmessungen hat er? 4.Aufgabe: Es sind zwei positive Zahlen zu ermitteln ,deren Summe gleich einer Zahl a ist ,und für die die Summe ihren Kuben minimal ist. Könnt ihr mir bitte ,bitte helfen???? Vielen Dank im Vorraus!! Anastäschen
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Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 123 Registriert: 03-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 12:31: |
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Hallo Anastäschen, das sind alles "Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen". Der Trick ist an sich immer der gleiche: Du stellst du zu maximierende (oder minimierende) Größe auf. Die ist in aller Regel von mehr als einer Variablen abhängig. Diese versuchst du durch die Nebenbedingungen zu reduzieren bis du nur noch eine Variable hast. zu 1.) Die zu maximierende Größe ist das Kegelvolumen V=1/3r*²ph. Ich nenne den Kegelradius r* weil r ja bereits der Kugelradius ist. Dieses Volumen ist nun abhängig von r* und h, die stehen über den Satz des Pythagoras is der Beziehung r*² + h² = r² (Skizze!), damit kannst du V schreiben als V= 1/3(r²-h²)ph, das ist eine Funktion mit der Funktionsvariablen h, denn r ist ja eine gegeben Größe. Das heißt, du hast eine Funktion V(h) = 1/3(r²-h²)ph von der du das Maximum suchst. (Ableiten, 1.Ableitung gleich 0 setzen, du weißt schon...) Meinst du, du kannst die anderen Aufgaben jetzt allein? |
Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 08:04: |
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Vielen Dank für deinen Ansatz. Das ist ja gerade mein Problem ,den Ansatz bei diesen Aufgaben zu finden.Deshalb komm ich ja auch nicht mit den anderen 3 klar.Könnt ihr mir bitte weiter helfen??? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1891 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 09:05: |
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2) beizeichne den Abstand des Kegelbasismittelpunktes vom Kugelmittelpunk mit x Die Kegelhöhe ist dann r+x, der Kegelradius R = Wurzel(r²-x²) 3) bezeichne den Abstand der Zylinderdeckfläche von der Kegelspitze mit x. Der Zylinderradius ist dann ( Strahlensätze ) R = r*x/h, die Zylinderhöhe H = h-x 4) eine der Zahlen sei x, dann ist die andere (a-x), die Summe der Kuben also s(x) = x³+(a-x)³
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 14:15: |
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Hallo ihr Lieben , hab versucht die Aufgabe zu rechnen, hab aber noch 2 Fragen : zu Aufgabe 1: hab die 1.Ableitung 0 gesetzt und komme auf h² = (1/3 *Pi* r² )/ Pi ist da h = Wurzel ( 1/3 r²) ? und meine Frage zu Aufgabe 2 : ist die Funk. so. : V(x)= 1/3* Pi *( r²- x²) * (r +x) ?? dann multiplizier ich das alles aus und leite ab V`(x) = 1/3 * Pi *r² - 2/3 *Pi *r *x – Pi *x² ? Komme beim 0 setzen net mehr klar. Bitte helft mir!! Wie ist der Anfang zu dieser Aufgabe : Die Summe der Quadrate zweier positiver Zahlen ,deren Summe 10 ergibt ,soll minimal sein?? Helft mir bitte!!! Danke
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Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 125 Registriert: 03-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 14:37: |
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Die Funktion war V(h)=1/3(r²-h²)ph, die musst du erst mal ausmultiplizieren: V(h)=p/3(r²h-h³). Wenn du die 1.Ableitung bildest bleibt der Faktor vor der Klammer erhalten, also V'(h)=p/3(r²-3h²). V'(h)=0 wenn die Klammer gleich 0 ist, also für r²-3h²=0, liefert h=r/sqrt 3 |
Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 61 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 17:23: |
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Zum Nachsatz : Seien a,b die gesuchten Zahlen Forderung: F(a,b) = a*a + b*b minimal Nebenbed. : a + b = 10 oder b = 10 - a Folgerung F(a,b) = F(a) = a*a + (10 - a)**2 F'(a) = 2*a - 10 = 0 ==> a = b = 5 oder auspronieren (a < 10, b < 10 ) |
Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 08:26: |
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Vielen Dank ihr Lieben, komme bloß bei Aufgabe 2 net weiter.Jedesmal kommt ein neg. Ergebnis raus und das kann nicht sein.Könnt ihr mir helfen??? Wünsch euch jetzt schonmal einen guten Rutsch!! |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 127 Registriert: 03-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 09:56: |
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also, Anastäschen, mit dem Ansatz den Friedrich dir oben schon gezeigt hat ist das Kegelvolumen (Kegelradius r*, Kegelhöhe h) V=1/3r*²ph = 1/3(r²-x²)p(x+r) = p/3(-x³-rx²+r²x+r³). Deine zu maximierende Funktion ist also V(x) = p/3(-x³-rx²+r²x+r³) Die Ableitung ist V'(x) = p/3(-3x²-2rx+r²), die ist gleich 0 wenn die Klammer gleich 0 ist, also -3x²-2rx+r²=0. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bekommst du x1,2 = (2r+-sqrt(4r²+12r²))/(-6) und damit x1=-r (keine Lösung,da negativ) und x2=2/3r |
Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 12 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 16:15: |
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Vielen vielen Dank!!!! Bin so froh ,dass es solche lieben Leute ,wie euch gibt!! Danke!!! |