| Autor |
Beitrag |
    
Fn86 (Fn86)
Neues Mitglied
Benutzername: Fn86
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:09: | 
|
Hallo....
Hab Probleme mit folgener Aufgabe, wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte...
"Berechne den Flächeninhalt der Fläche,
die der Graph der Funktion f(x)= x^3-6x mit der
Tangente an den Graphen von f an der Stelle -1
einschließt."
Komme mit der Fragestellung nich zurecht...Was ist mit der Tangente genau gemeinr? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1829
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 22:19: |
|
damit wird behauptet,
die Tangente an f(x) bei x=a=1 schliesse mit
f(x) eine Fläche ein, SCHNEIDE f(x) also
bei einem anderem x=b.
Zwischen diesen beiden Grenzen, a,b,
muss nun die Zwischen f(x) und der Tangente
eingeschlossene Fläche berechnet werden.
Die
Gleichung der Tangente ist t(x)= f(1)+(x-1)*f'(1)
Lösung der Gl. f(x) = t(x)
liefert b.
Es ist zwar eine Gl. 3ten Grades,
aber die Lösung x=a=1 ist ja bereits bekannt,
somit wird durch Polynomdivision durch (x-1)
die Gleichung zu einer quadratischen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Fn86 (Fn86)
Neues Mitglied
Benutzername: Fn86
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 06:06: |
|
Da aber doch die Stelle -1 ist, lautet die
Tangentengleichung Gleichung t(x)= f(-1)+(x+1)*f'(-1),
richtig? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1831
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 07:45: |
|
ja; und Polynomdiv. durch (x+1)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 806
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 17:13: |
|
Hi!
y = x³ - 6x
T(-1|5), in diesem Punkt wird die Tangente gelegt.
y' = 3x² - 6
Steigung der Tangente an der Stelle x = -1:
mt = y'(-1) = 3 - 6 = -3
Tangentengleichung in T(-1|5) aus
mt = (y - 5)/(x + 1)
(y - 5)/(x + 1) = -3
y - 5 = -3x - 3
t: y = -3x + 2
Schnitt mit y = x³ - 6x
x³ - 6x = -3x + 2
x³ - 3x - 2 = 0
da x = -1 bereits eine Lösung ist, erhält man die restlichen aus dem quadratischen Polynom, das durch Division von x³ - 3x - 2 durch den Linearfaktor (x + 1) gewonnen wird; der Linearfaktor ist stets "x minus Lösung".
(x³ - 3x - 2) : (x + 1) = x² - x - 2
x³ + x² |-
-----------
.. - x² - 3x
.. - x² - x |-
-----------------
.. 0 .. - 2x - 2
.. 0 .. - 2x - 2| -
---------------------
........... 0 R ....
x² - x - 2 = 0
x2 = 2; x3 = -1
Eine von x = -1 verschiedene Lösung ist x = 2; man erkennt auch, dass x = - 1 eine Doppellösung ist; das muss auch so sein, den die Tangente berührt ja die Kurve dort, und ein Berührungspunkt ist ein doppelter Schnittpunkt.
Somit hätte man das Gleichungspolynom auch durch x² + 2x + 1 dividieren können und gleich den dritten Linearfaktor (x - 2) erhalten.
(2|0) ist jedenfalls der 2. Schnittpunkt.
Gr
mYthos
|
|
