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Fn86 (Fn86)
Neues Mitglied Benutzername: Fn86
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:09: |
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Hallo.... Hab Probleme mit folgener Aufgabe, wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte... "Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f(x)= x^3-6x mit der Tangente an den Graphen von f an der Stelle -1 einschließt." Komme mit der Fragestellung nich zurecht...Was ist mit der Tangente genau gemeinr? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1829 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 22:19: |
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damit wird behauptet, die Tangente an f(x) bei x=a=1 schliesse mit f(x) eine Fläche ein, SCHNEIDE f(x) also bei einem anderem x=b. Zwischen diesen beiden Grenzen, a,b, muss nun die Zwischen f(x) und der Tangente eingeschlossene Fläche berechnet werden. Die Gleichung der Tangente ist t(x)= f(1)+(x-1)*f'(1) Lösung der Gl. f(x) = t(x) liefert b. Es ist zwar eine Gl. 3ten Grades, aber die Lösung x=a=1 ist ja bereits bekannt, somit wird durch Polynomdivision durch (x-1) die Gleichung zu einer quadratischen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Fn86 (Fn86)
Neues Mitglied Benutzername: Fn86
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 06:06: |
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Da aber doch die Stelle -1 ist, lautet die Tangentengleichung Gleichung t(x)= f(-1)+(x+1)*f'(-1), richtig? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1831 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 07:45: |
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ja; und Polynomdiv. durch (x+1) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 806 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 17:13: |
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Hi! y = x³ - 6x T(-1|5), in diesem Punkt wird die Tangente gelegt. y' = 3x² - 6 Steigung der Tangente an der Stelle x = -1: mt = y'(-1) = 3 - 6 = -3 Tangentengleichung in T(-1|5) aus mt = (y - 5)/(x + 1) (y - 5)/(x + 1) = -3 y - 5 = -3x - 3 t: y = -3x + 2 Schnitt mit y = x³ - 6x x³ - 6x = -3x + 2 x³ - 3x - 2 = 0 da x = -1 bereits eine Lösung ist, erhält man die restlichen aus dem quadratischen Polynom, das durch Division von x³ - 3x - 2 durch den Linearfaktor (x + 1) gewonnen wird; der Linearfaktor ist stets "x minus Lösung". (x³ - 3x - 2) : (x + 1) = x² - x - 2 x³ + x² |- ----------- .. - x² - 3x .. - x² - x |- ----------------- .. 0 .. - 2x - 2 .. 0 .. - 2x - 2| - --------------------- ........... 0 R .... x² - x - 2 = 0 x2 = 2; x3 = -1 Eine von x = -1 verschiedene Lösung ist x = 2; man erkennt auch, dass x = - 1 eine Doppellösung ist; das muss auch so sein, den die Tangente berührt ja die Kurve dort, und ein Berührungspunkt ist ein doppelter Schnittpunkt. Somit hätte man das Gleichungspolynom auch durch x² + 2x + 1 dividieren können und gleich den dritten Linearfaktor (x - 2) erhalten. (2|0) ist jedenfalls der 2. Schnittpunkt. Gr mYthos
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