Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Kugel-SOS;)

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Lineare Algebra/Anal.Geometrie » Kugel-SOS;) « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carrie (Carrie)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie

Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 13:55:   Beitrag drucken

Punkte A(10/-6/-3), B(6/2/0)und C (12/0/0) sowie die Ebene
E: 2x1 + 6x2 + 3x3 -24 = 0 sind gegeben.

Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K1, die A als Mittelpunkt hat und die durch B geht.

K schneidet aus der Geraden durch B und C eine Strecke aus. Berechnen Sie deren Länge.

K schneidet E in einem Kreis k. Alle Kugeln, die E in diesem Kreis k schneiden, bilden eine Schar Kt.
Weisen Sie nach, dass Kt der folgenden Gleichnung genügt:

Kt: (x - (12+2t/6t/3t))^2 (Vektorschreibweise) = 49t^2 + 40
t Element aus R

DANKE
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 967
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 18:59:   Beitrag drucken

Hi,

einfach M = A und r = |A-B|

==> k: (x-10)^2 + (y+6)^2 + (z+3)^2 = 89

Gerade BC mit k schneiden, du erhälst zwei Schnittpunkte, der Abstand dieser beiden ist die gesuchte Strecke [ S = 4 * sqrt(10) ]


Das sollte wohl ers ma helfen...

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carrie (Carrie)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie

Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 11:16:   Beitrag drucken

danke soweit

wieso (S = 4 * sqrt(10) ] ??

was ist mit Kt?
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carrie (Carrie)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie

Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 16:18:   Beitrag drucken

Kann mir hier bitte noch mal jemand weiterhelfen!!!

das oben erwähnte ist einfach zu vage, damit komme ich nicht klar.
geht das vllt ausführlicher??

hoffe auf baldige Antwort!!
danke
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mythos2002 (Mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 809
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 19:12:   Beitrag drucken

Hi,

die Gerade g durch BC schneidet die Kugel in einem zweiten Punkt B1:

Richtungsvektor: BC = (6;-2;0) = 2*(3;-1;0)
Gerade g: X = (6;2;0) + u*(3;-1;0)
[ X ist der allg. variable Vektor X = (x1;x2;x3) ]

Für den Schnitt mit der Kugel [X - (10;-6;-3)]² = 89 das X von der Geraden einsetzen:

[(6;2;0) + u*(3;-1;0) - (10;-6;-3)]² = 89
(-4 + 3u)² + (8 - u)² + 9 = 89
10u² - 40u = 0 | :10
u*(u - 4) = 0

u1 = 0, das ist klar, denn der erste Schnittpunkt ist ja der Punkt B selbst!

u2 = 4, dies führt zu B1. Da wir aber nur die Länge der Strecke BB1 benötigen, berechnen wir gleich die Länge von 4*(3;-1;0), der Anfangspunkt B der Geraden liegt ja auf der Kugel.

BB1 = 4*|3;-1;0)| = 4*sqrt(9 + 1 + 0) = 4*sqrt(10)

Gr
mYthos

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mythos2002 (Mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 810
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 20:52:   Beitrag drucken

Zur Kugelschar kt:

Die Ebene schneidet die Kugel M=A, r = AB = sqrt(89) in einem Großkreis (dessen Radius ist ebenfalls r), weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht!

Alle Kugeln der gesuchten Schar haben nun ihren Mittelpunkt auf einer Normalen zu E durch A; die Gleichung dieser Normalen ist

n: X = (10;-6;-3) + t*(2;6;3), statt X kann man nun M(t) (Mittelpunkte aller Kugeln der Schar) setzen:

M(t) = M = (10;-6;-3) + t*(2;6;3)

X(t) = X sei nun ein beliebiger Punkt auf einer Kugel der Schar.

Die Tatsache, dass alle Kugeln der Schar (kt) die Ebene E in ein und demselben Kreis mit dem Radius sqrt(89) schneiden, kann mit der Beziehung beschrieben werden, dass der Normalabstand d des Mittelpunktes M von E, der Radius r = sqrt(89) des Schnittkreises und der Radius MX der Kugel kt ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:

d² + 89 = [MX]² .. [MX]² = [Vekt(X - M)]²

d berechnen wir, indem wir M((10+2t);(-6+6t);(-3+3t)) in die Hessesche Normalform (HNF) der Ebene E einsetzen:

E:
2x1 + 6x2 + 3x3 - 24 = 0
(2x1 + 6x2 + 3x3 - 24)/7 = 0
(20 + 4t - 36 + 36t - 9 + 9t - 24)/7 = d
7t - 7 = d
49t² - 98t + 49 = d²

Somit gilt

49t² - 98t + 49 + 89 = (X - M)², mit
M((10+2t);(-6+6t);(-3+3t)) ist

[X - ((10+2t);(-6+6t);(-3+3t))]² = 49t² - 98t + 138

Das ist bereits die Gleichung der gesuchten Kugelschar, die man noch ein wenig umformen kann, indem man den linken Ausdruck vorerst ausquadriert und die t- und die absoluten Glieder mit den links stehenden teilweise so miteinander vereinigt, dass auf der linken Seite wieder ein vollständiges Quadrat steht.

[X - ((10+2t);(-6+6t);(-3+3t))]² = 49t² - 98t + 138
(zu beiden Seiten 98t - 98 addieren)

[X - ((12+2t);(6t);(3t))]² = 49t² + 40
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carrie (Carrie)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie

Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 21:55:   Beitrag drucken

das ist supernett, dass du mir weitergeholfen hast!!!
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carrie (Carrie)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie

Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 11:47:   Beitrag drucken

hey Mythos,

es tut mir leid, aber ich habe noch kleine Nachfragen.

(-4 + 3u)² + (8 - u)² + 9 = 89
10u² - 40u = 0
ich kriege diese Umformung einfach nicht hin.
das sind doch 16+9u^2+64+u^2+9 = 89 --> 10u^2+89= 89
wie kommst du auf -40u??
kannst du mir das bitte erklären??

achso und anstatt (3;-1;0) für BC kann ich doch auch bei (6;-2;0) bleiden oder?

zum zweiten Teil:
Die Ebene schneidet die Kugel M=A, r = AB = sqrt(89) in einem Großkreis (dessen Radius ist ebenfalls r), weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht!

woher weiß ich, dass die Ebene durch den Mittelpunkt A der Kugel geht? ist da irgendwo ein Hinweis in der Aufagbenstellung?

bei dem rechtwinkligen Dreieck frage ich mich, wo genau der rechte Winkel liegt?

Die umformung hat bei mir nicht ganz geklappt, aber egal...

Ich hoffe, du kannst mir meine Fragen noch mal beantworten.
Der Rest war wirklich verständlich!!

danke
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 331
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 13:20:   Beitrag drucken

Hallo Carrie!
(-4 + 3u)² + (8 - u)² + 9 = 89
16-24u+9u² + 64-16u+u² + 9 = 89 (2.binomische Formel)
89 - 40u + 10u² = 89
10u² - 40u = 0

quote:

achso und anstatt (3;-1;0) für BC kann ich doch auch bei (6;-2;0) bleiden oder?



Kannst du - aber mit kleineren Zahlen rechnet's sich halt leichter.

quote:

Die Ebene schneidet die Kugel M=A, r = AB = sqrt(89) in einem Großkreis (dessen Radius ist ebenfalls r), weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht!

woher weiß ich, dass die Ebene durch den Mittelpunkt A der Kugel geht? ist da irgendwo ein Hinweis in der Aufagbenstellung?



Hier scheint sich Mythos tatsächlich geirrt zu haben. Ich muss das nochmal in Ruhe nachrechnen, aber m.E. liegt der Punkt A nicht auf der Ebene.
Ich melde mich gleich oder heute Abend nochmal dazu.

quote:

bei dem rechtwinkligen Dreieck frage ich mich, wo genau der rechte Winkel liegt?



Der sollte bei M liegen, wenn alles mit rechten Dingen zugeht. Aber wie gesagt, das muss ich nochmal nachrechnen.



Mit freundlichen Grüßen
Jair
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 332
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 14:14:   Beitrag drucken

Hallo Carrie!
Hier kommt die angekündigte Rechnung:
A liegt (wie schon oben erwähnt) nicht auf E. Den Abstand von A zu E können wir berechnen (das ist zur Lösung der Aufgabe nicht unbedingt erforderlich, aber ganz interessant):
HNF zu E: 1/7*(2x1+6x2+3x3-24)=0
d(A,E)=1/7*(2*10+6*(-6)+3*(-3)-24)=-49/7=-7
Der Ursprung und A liegen also auf derselben Seite von E. Wir erhalten den Ortsvektor des Lotfußpunktes des Lotes von A auf E, indem wir den 7-fachen Normaleneinheitsvektor 1/7*(2;6;3) zum Ortsvektor von A addieren. Das ergibt (10;-6;-3)+(2;6;3)=(12;0;0)
Damit ergibt sich, dass C der Mittelpunkt aller Schnittkreise ist. Der Radius der Schnittkreise ist dann |BC| = Ö40.
Die restlichen Überlegungen von Mythos sind wieder völlig richtig. Mit der Kenntnis von C kann man allerdings die gewünschte Gleichung leichter zeigen:
Alle Mittelpunkte Mt liegen auf der Normalen durch C, also auf x=(12;0;0)+t(2;6;3).
Der Radius² ist
|BMt|²=
|(12;0;0)+t(2;6;3)-(6;2;0)|²=
|(6+2t;-2+6t;3t)|²=
36+24t+4t²+4-24t+36t²+9t²=
49t²+40
Also gilt
Kt:[x-((12;0;0)+t(2;6;3))]²=49t²+40, was zu zeigen war.

Mit freundlichen Grüßen
Jair
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mythos2002 (Mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 814
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 23:48:   Beitrag drucken

Hi,
Danke für die Korrektur und die weitere Berechnung, es stimmt, dass der Punkt A nicht auf E liegt, da bin ich von einer falschen Voraussetzung ausgegangen! Sorry!

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 341
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 08:44:   Beitrag drucken

Hi Mythos,
alles klar, das passiert mir auch öfter mal.
Viele Grüße
Jair
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carrie (Carrie)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie

Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 12:19:   Beitrag drucken

ja ich schließ mich an: danke für deien Hilfe!!@Jair

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page