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Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 103 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 13:55: |
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Punkte A(10/-6/-3), B(6/2/0)und C (12/0/0) sowie die Ebene E: 2x1 + 6x2 + 3x3 -24 = 0 sind gegeben. Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K1, die A als Mittelpunkt hat und die durch B geht. K schneidet aus der Geraden durch B und C eine Strecke aus. Berechnen Sie deren Länge. K schneidet E in einem Kreis k. Alle Kugeln, die E in diesem Kreis k schneiden, bilden eine Schar Kt. Weisen Sie nach, dass Kt der folgenden Gleichnung genügt: Kt: (x - (12+2t/6t/3t))^2 (Vektorschreibweise) = 49t^2 + 40 t Element aus R DANKE
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 967 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 18:59: |
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Hi, einfach M = A und r = |A-B| ==> k: (x-10)^2 + (y+6)^2 + (z+3)^2 = 89 Gerade BC mit k schneiden, du erhälst zwei Schnittpunkte, der Abstand dieser beiden ist die gesuchte Strecke [ S = 4 * sqrt(10) ] Das sollte wohl ers ma helfen... mfg |
Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 106 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 11:16: |
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danke soweit wieso (S = 4 * sqrt(10) ] ?? was ist mit Kt? |
Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 107 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 16:18: |
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Kann mir hier bitte noch mal jemand weiterhelfen!!! das oben erwähnte ist einfach zu vage, damit komme ich nicht klar. geht das vllt ausführlicher?? hoffe auf baldige Antwort!! danke |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 809 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 19:12: |
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Hi, die Gerade g durch BC schneidet die Kugel in einem zweiten Punkt B1: Richtungsvektor: BC = (6;-2;0) = 2*(3;-1;0) Gerade g: X = (6;2;0) + u*(3;-1;0) [ X ist der allg. variable Vektor X = (x1;x2;x3) ] Für den Schnitt mit der Kugel [X - (10;-6;-3)]² = 89 das X von der Geraden einsetzen: [(6;2;0) + u*(3;-1;0) - (10;-6;-3)]² = 89 (-4 + 3u)² + (8 - u)² + 9 = 89 10u² - 40u = 0 | :10 u*(u - 4) = 0 u1 = 0, das ist klar, denn der erste Schnittpunkt ist ja der Punkt B selbst! u2 = 4, dies führt zu B1. Da wir aber nur die Länge der Strecke BB1 benötigen, berechnen wir gleich die Länge von 4*(3;-1;0), der Anfangspunkt B der Geraden liegt ja auf der Kugel. BB1 = 4*|3;-1;0)| = 4*sqrt(9 + 1 + 0) = 4*sqrt(10) Gr mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 810 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 20:52: |
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Zur Kugelschar kt: Die Ebene schneidet die Kugel M=A, r = AB = sqrt(89) in einem Großkreis (dessen Radius ist ebenfalls r), weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht! Alle Kugeln der gesuchten Schar haben nun ihren Mittelpunkt auf einer Normalen zu E durch A; die Gleichung dieser Normalen ist n: X = (10;-6;-3) + t*(2;6;3), statt X kann man nun M(t) (Mittelpunkte aller Kugeln der Schar) setzen: M(t) = M = (10;-6;-3) + t*(2;6;3) X(t) = X sei nun ein beliebiger Punkt auf einer Kugel der Schar. Die Tatsache, dass alle Kugeln der Schar (kt) die Ebene E in ein und demselben Kreis mit dem Radius sqrt(89) schneiden, kann mit der Beziehung beschrieben werden, dass der Normalabstand d des Mittelpunktes M von E, der Radius r = sqrt(89) des Schnittkreises und der Radius MX der Kugel kt ein rechtwinkeliges Dreieck bilden: d² + 89 = [MX]² .. [MX]² = [Vekt(X - M)]² d berechnen wir, indem wir M((10+2t);(-6+6t);(-3+3t)) in die Hessesche Normalform (HNF) der Ebene E einsetzen: E: 2x1 + 6x2 + 3x3 - 24 = 0 (2x1 + 6x2 + 3x3 - 24)/7 = 0 (20 + 4t - 36 + 36t - 9 + 9t - 24)/7 = d 7t - 7 = d 49t² - 98t + 49 = d² Somit gilt 49t² - 98t + 49 + 89 = (X - M)², mit M((10+2t);(-6+6t);(-3+3t)) ist [X - ((10+2t);(-6+6t);(-3+3t))]² = 49t² - 98t + 138 Das ist bereits die Gleichung der gesuchten Kugelschar, die man noch ein wenig umformen kann, indem man den linken Ausdruck vorerst ausquadriert und die t- und die absoluten Glieder mit den links stehenden teilweise so miteinander vereinigt, dass auf der linken Seite wieder ein vollständiges Quadrat steht. [X - ((10+2t);(-6+6t);(-3+3t))]² = 49t² - 98t + 138 (zu beiden Seiten 98t - 98 addieren) [X - ((12+2t);(6t);(3t))]² = 49t² + 40 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Gr mYthos |
Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 108 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 21:55: |
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das ist supernett, dass du mir weitergeholfen hast!!! |
Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 109 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 11:47: |
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hey Mythos, es tut mir leid, aber ich habe noch kleine Nachfragen. (-4 + 3u)² + (8 - u)² + 9 = 89 10u² - 40u = 0 ich kriege diese Umformung einfach nicht hin. das sind doch 16+9u^2+64+u^2+9 = 89 --> 10u^2+89= 89 wie kommst du auf -40u?? kannst du mir das bitte erklären?? achso und anstatt (3;-1;0) für BC kann ich doch auch bei (6;-2;0) bleiden oder? zum zweiten Teil: Die Ebene schneidet die Kugel M=A, r = AB = sqrt(89) in einem Großkreis (dessen Radius ist ebenfalls r), weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht! woher weiß ich, dass die Ebene durch den Mittelpunkt A der Kugel geht? ist da irgendwo ein Hinweis in der Aufagbenstellung? bei dem rechtwinkligen Dreieck frage ich mich, wo genau der rechte Winkel liegt? Die umformung hat bei mir nicht ganz geklappt, aber egal... Ich hoffe, du kannst mir meine Fragen noch mal beantworten. Der Rest war wirklich verständlich!! danke |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 331 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 13:20: |
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Hallo Carrie! (-4 + 3u)² + (8 - u)² + 9 = 89 16-24u+9u² + 64-16u+u² + 9 = 89 (2.binomische Formel) 89 - 40u + 10u² = 89 10u² - 40u = 0
quote:achso und anstatt (3;-1;0) für BC kann ich doch auch bei (6;-2;0) bleiden oder?
Kannst du - aber mit kleineren Zahlen rechnet's sich halt leichter.
quote:Die Ebene schneidet die Kugel M=A, r = AB = sqrt(89) in einem Großkreis (dessen Radius ist ebenfalls r), weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht! woher weiß ich, dass die Ebene durch den Mittelpunkt A der Kugel geht? ist da irgendwo ein Hinweis in der Aufagbenstellung?
Hier scheint sich Mythos tatsächlich geirrt zu haben. Ich muss das nochmal in Ruhe nachrechnen, aber m.E. liegt der Punkt A nicht auf der Ebene. Ich melde mich gleich oder heute Abend nochmal dazu.
quote:bei dem rechtwinkligen Dreieck frage ich mich, wo genau der rechte Winkel liegt?
Der sollte bei M liegen, wenn alles mit rechten Dingen zugeht. Aber wie gesagt, das muss ich nochmal nachrechnen.
Mit freundlichen Grüßen Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 332 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 14:14: |
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Hallo Carrie! Hier kommt die angekündigte Rechnung: A liegt (wie schon oben erwähnt) nicht auf E. Den Abstand von A zu E können wir berechnen (das ist zur Lösung der Aufgabe nicht unbedingt erforderlich, aber ganz interessant): HNF zu E: 1/7*(2x1+6x2+3x3-24)=0 d(A,E)=1/7*(2*10+6*(-6)+3*(-3)-24)=-49/7=-7 Der Ursprung und A liegen also auf derselben Seite von E. Wir erhalten den Ortsvektor des Lotfußpunktes des Lotes von A auf E, indem wir den 7-fachen Normaleneinheitsvektor 1/7*(2;6;3) zum Ortsvektor von A addieren. Das ergibt (10;-6;-3)+(2;6;3)=(12;0;0) Damit ergibt sich, dass C der Mittelpunkt aller Schnittkreise ist. Der Radius der Schnittkreise ist dann |BC| = Ö40. Die restlichen Überlegungen von Mythos sind wieder völlig richtig. Mit der Kenntnis von C kann man allerdings die gewünschte Gleichung leichter zeigen: Alle Mittelpunkte Mt liegen auf der Normalen durch C, also auf x=(12;0;0)+t(2;6;3). Der Radius² ist |BMt|²= |(12;0;0)+t(2;6;3)-(6;2;0)|²= |(6+2t;-2+6t;3t)|²= 36+24t+4t²+4-24t+36t²+9t²= 49t²+40 Also gilt Kt:[x-((12;0;0)+t(2;6;3))]²=49t²+40, was zu zeigen war.
Mit freundlichen Grüßen Jair
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 814 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 23:48: |
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Hi, Danke für die Korrektur und die weitere Berechnung, es stimmt, dass der Punkt A nicht auf E liegt, da bin ich von einer falschen Voraussetzung ausgegangen! Sorry! Gr mYthos
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 341 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 08:44: |
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Hi Mythos, alles klar, das passiert mir auch öfter mal. Viele Grüße Jair |
Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 110 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 12:19: |
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ja ich schließ mich an: danke für deien Hilfe!!@Jair |