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Yushibi (Yushibi)
Mitglied Benutzername: Yushibi
Nummer des Beitrags: 25 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 16:06: |
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hey ihr wir haben gerade in mathe mit definitionslücken angefangen. es gibt offenbar drei verschiedene arten, wie man sie definieren kann. im unterricht haben wir schon die lösung mit der polstelle und dem grenzwert angesprochen... 1 frage: was genau ist das mit der polstelle? das hab ich einfach nicht verstanden 2 frage: wir haben hier jetzt noch eine gleichung: f(x)=x²-3x-4/x²-8x-16 ich weiß, dass Xo=4 die nullstelle vom nenner ist...aber mehr leider auch nicht. es muss wohl noch eine dritte möglichkeit geben, so eine definitionslücke zu definieren..aber ich weiß nicht wie genau ich da jetzt rangehen soll... auch heißt es immer p= soundso und q= soundso.... wofür genau stehen p und q? einfach nur 2 punkte? bitte helft mir.. viele liebe grüße Yushibi |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 285 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 17:29: |
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Hallo Yushibi! 1. Wenn in einer gebrochen-rationalen Funktion der Nenner des Bruches an einer Stelle gegen 0 geht, der Zähler an dieser Stelle aber nicht, wenn also sozusagen ein Ausdruck der Form a/0 auftritt, dann spricht man (z.B.) von einer Polstelle. Allgemein bedeutet der Begriff "Polstelle einer Funktion", das hier eine nicht definierte Stelle (Definitionslücke) der Funktion auftritt, wobei die einseitigen Grenzwerte +¥ oder -¥ sind. Haben die beiden Grenzwerte das gleiche Vorzeichen, handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, sonst um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Im Graph treten zwei getrennte Äste auf, die nach +¥ oder -¥ laufen. <Fortsetzung folgt> Mit freundlichen Grüßen Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 286 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 17:37: |
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Zu deiner 2.Frage: f(x)=(x²-3x-4)/(x²-8x-16) Man kann den Nenner zerlegen in (x-4)². Den Nenner kann man zerlegen in (x+1)(x-4). Damit sieht dein Funktionsterm so aus: f(x)=((x+1)(x-4))/(x-4)² Kürze durch (x-4), und du erhältst f(x)=(x+1)/(x-4)
Falls bei dieser Rechnung die Nullstelle im Nenner ganz wegfällt, dann ist der Grenzwert an dieser Stelle offenbar nicht ¥, sondern eine reelle Zahl. In diesem Fall haben wir keine Polstelle, sondern eine "behebbare Lücke". In unserem Fall liegt aber weiterhin eine Polstelle vor, und zwar mit Vorzeichenwechsel: l-lim f(x)=+¥ (für x<4) r-lim f(x)=-¥ (für x>4) <Fortsetzung folgt> Mit freundlichen Grüßen Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 287 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 17:45: |
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Zu deiner Schlussfrage: Zum Auffinden der Nullstellen des Nenners benötigst du doch häufig quadratische Gleichungen. Du weißt sicher noch, dass man sie mit der sog. p-q-Formel löst: Beispiel: x²-3x-4=0 pq-Formel: x=-p/2±Ö((p²/4)-q) x=-3/2±Ö(((9/4)/4)+4) x=-3/2±5/2 x= 1 Ú x= -4 p und q sind also nur die Platzhalter für den Faktor vor dem x und die Zahl ohne x. Mit freundlichen Grüßen Jair
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Yushibi (Yushibi)
Mitglied Benutzername: Yushibi
Nummer des Beitrags: 26 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 18:14: |
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hm..ich versteh da noch ein paar sachen nicht: 1. In unserem Fall liegt aber weiterhin eine Polstelle vor, und zwar mit Vorzeichenwechsel: l-lim f(x)=+¥ (für x<4) r-lim f(x)=-¥ (für x>4) ich versteh nicht, wie du das mit dem größer/kleiner als vier machst... und dann den rest...mit der pq-formel..du machst das doch hier als beispiel für den zähler...(x²-3x-4 stand ja oben in der gleichung).... muss ich DAS jetzt mit dem nenner machen, oder mit beiden? oder ist x=1 oder x=-4 schon die antwort? wenn ja, warum hast du den nenner und nicht den zähler genommen bei der pq-formel?? sorry...aber ich bin noch ein wenig verwirrt... lg Yushibi ^_^ |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 290 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 22:41: |
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Hallo Yushibi, zuerst einmal muss ich mich entschuldigen: ich habe den Nenner deiner Funktion falsch zerlegt. Er ist ja gar nicht x²-8x+16, sondern x²-8x-16. Damit kann man ihn auch nicht als (x-4)² schreiben. Allerdings könnte es evtl. sein, dass du dich vertippt hast, denn bei x²-8x-16 kommen ziemlich krumme Zahlen als Nullstellen heraus: x=4±Ö32 Wie dem auch sei - bei meiner Rechnung bin ich von der einzigen Nullstelle 4 ausgegangen. An der Stelle 4 wäre die Funktion dann nicht definiert gewesen. Die beiden Fälle x<4 und x>4 unterscheiden dann einfach, ob ich mich links von der Nullstelle oder rechts von ihr befinde. Für die beiden Fälle betrachte ich den einseitigen Grenzwert getrennt. Da der Nenner gegen 0 geht, der Zähler aber nicht, weiß ich schon, das auf jeden Fall eine Polstelle vorliegt. Es ist nur noch die Frage, ob mit oder ohne Vorzeichenwechsel. Zur Erinnerung: der Funktionsterm lautete (x+1)/(x-4) Denk dir nun x<4. Dann ist doch der Nenner auf jeden Fall negativ, der Zähler ist jedoch positiv, wenn ich noch nah genug bei 4 bin (setz z.B. mal 3,5 ein). Das bedeutet, dass der Bruch negative Werte liefert, wenn ich von links an die Nullstelle des Nenners herangehe. Links geht die Funktion also gegen -¥. Denk dir jetzt x>4. Dann ist x-4 auf jeden Fall positiv, x+1 aber auch. Damit wird der Bruch auf jeden Fall positiv. Rechts geht die Funktion also gegen +¥. Okay? Mit freundlichen Grüßen Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 291 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 22:53: |
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Zur pq-Formel: die wollte ich dir mit dem Beispiel nur anhand irgendeiner quadratischen Gleichung erklären. Wenn du die Definitionslücken einer gebrochen-rationalen Funktion suchst, musst du die entsprechende Nennergleichung aufstellen und lösen. (Ich habe nur deshalb den Nenner nicht als Beispiel genommen, weil sich der (wie ich irrtümlich glaubte) mittels einer binomischen Formel als (x-4)² darstellen ließ. Damit hätte sich nur eine Lösung ergeben - ein nicht gerade typischer Fall). Allerdings muss ich auch diese Rechnung noch einmal korrigieren (ich glaube, ich war am frühen Abend einfach nicht fit). Richtig muss es heißen: x² - 3x - 4 = 0 x = -(p/2)±Ö((p²/4)-q) x = +(3/2)±Ö((9/4)+4) x = (3/2)±Ö(25/4) x = (3/2)±(5/2) x = 4 Ú x=-1 Sorry! Mit freundlichen Grüßen Jair
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Yushibi (Yushibi)
Mitglied Benutzername: Yushibi
Nummer des Beitrags: 27 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 05:16: |
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nein..ich hab mich vertippt...es muss tatsächlich +16 und nicht -16 heißen..tut mir leid, dass du dir solche arbeit deshalb machen mustest... trotzdem danke viele liebe grüße, Yushibi |
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