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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:41: | 
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Im r³ seien die Gerade g:x= (1;-2;1) + k(1;0;4) und die Ebene E: x1 + x2 + 2x3 - 15 = 0 gegeben. Berechnen Sie die orthogonale Projektion der Geraden in die Ebene.
Danke im voraus! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3059
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 18:24: |
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Hi Katrin,
Deine Aufgabe darf nicht ungelöst im Archiv verschwinden.
Daher versuche ich, eine Lösung zu finden.
Statt x1 schreibe ich x , statt y1 steht y, statt z1 steht z.
Die gesuchte Projektion der Geraden g sei mit g* bezeichnet.
Die Lösungsidee ist die folgende:
g* geht durch den Schnittpunkt S der Geraden g mit der
gegebenen Ebene E; dieser Punkt spielt die Rolle eines Fixpunktes
bei der Abbildung g -> g*.
S ist als Routineaufgabe schnell bestimmt!
Wir wählen einen beliebigen Punkt B auf g aus, indem wir den
Parameter k zum Beispiel null setzen.
Wir erhalten als Koordinaten von B:
xB = 1, yB = -2 , zB = 1.
Nun legen wir durch B die senkrechte Gerade h zur Ebene E
und schneiden l mit E im Punkt F (Fußpunkt des Lotes)
Die gesuchte Projekton g* von g in die Ebene E ist die
Verbindungsgerade der beiden Punkte S und F
Die Resultate sind:
xS = 23/9, yS = - 2 , zS = 65/9
xF = 10/3 ; yF = 1/3, zF = 17/3
Richtungsvektor SF von g* = 7/9 {1;3;-2}
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 11:48: |
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Vielen Dank! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3063
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 13:00: |
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Hi Katrin
Die Aufgabe soll nun noch zu einem guten Ende geführt
und die Lösung auf Herz und Nieren geprüft werden.
Die gesuchte Gerade g* ist nun durch den Punkt
F mit xF = 10/3 ; yF = 1/3, zF = 17/3
und den Richtungsvektor {1;3;-2}bestimmt;
beim Richtungsvektor haben wir den skalaren Faktor
7/9 einfach weggelassen.
Dadurch entsteht für g* die folgende Parameterdarstellung:
x = 10/3 + t , y = 1/3 + 3 t , z = 17/3 – 2 t mit t als Parameter.
Zur Bestätigung dafür, dass g* ganz in der Ebene liegt,
setzen wir x, y, z der Reihe nach in die gegebene
Ebenengleichung ein und siehe da, die Variable t
fällt aus der Rechnung und die Gleichung ist identisch erfüllt.
Aus x + y + 2 z - 15 = 0 wird
(10/3 + t) + (1/3 +3 t) + 2 * [17/3 – 2 t] - 15 = 0 für alle t.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 14:56: |
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Danke!
Und noch eine Frage:
Kann man vielleicht auch eine Ebene senkrecht in eine andere projezieren? Wenn ja, wie geht das? |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 15:35: |
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Und eine Aufgabe:
g: x= (2;0;0) + s(-2;1;1)
Wie lautet die senkrechte Projektion g’ von g in die x1-x2-Ebene?
Schnittpunkt mit der x1-x2-Ebene bestimmen:
0+s=0
s= 0
OS = (2;0;0)
Gerade durch P(2;0;0) senkrecht zur x1-x2-Ebene:
h:x = (2;0;0) + s(0;0;1)
Schnittpunkt mit x1-x2-Ebene:
0 + s = 0
S(2;0;0)
Irgendwas stimmt hier doch nicht..
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1773
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 06:52: |
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weil der Richtungsvektor (-2; 1; 0) sein muss.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 12:45: |
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Warum muss das so sein?? Die x3-Achse steht doch senkrecht auf der x1x2-Ebene?!?
Kann man auch Ebenen senkrecht ineinander projezieren?
Ist ganz dringend! Schreibe morgen Klausur! |
