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Coola (Coola)
Mitglied
Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:13: | 
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Hallo,
wir hatten in unserer Klausur folgende Aufgabe, von der ich gerne wüsste, wie man sie rechnet, da wir ja eine Berichtigung machen sollen.
a) An die Kurve K:y=e^x+1 wird in einem Punkt P die Tangente gelegt; sie schneide die x-Achse in Q. WIe lang ist die Strecke PQ mindestens?
b) Die Tangente in P, die Parallele zur y-Achse durch P und die x-Achse begrenzen ein Dreieck. Für welchen Kurvenpunkt P wird der Flächeninhalt dieses Dreieck minimal? Wie groß ist er in diesem Fall?
Danke schonmal für eure Mithilfe.
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Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:31: |
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Hallo Coola!
Wie weit kommst du denn selber, bzw. wo muss man denn anfangen mit erklären? Hast du für P einen Wert angegeben? Wenn nicht, muss man alles allgemein rechnen und das erscheint mir doch etwas unwahrscheinlich. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3006
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:48: |
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Hi Petra,
Nichts ist in einem solchen Zusammenhang unwahrscheinlich !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Coola (Coola)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:49: |
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Für den Punkt P sind keine Koordinaten angegeben. Und genau da ist ja mein Problem. Ich bin bisher davon ausgegangen, dass der Punkt P die Koordinaten (0/2) hat, da dieser Punkt auf der Kurve K:y liegt und am einfachsten zu berechnen (mit Logik) ist. Aber wie soll es dann weiter gehen? Ich habe keine Ahnung, wie ich den Punkt Q ausrechne, außer dass der Punkt Q die Koordinaten (x/0) hat. Aber das kann ja so nicht gehen, denn dann hätte man ja gleich hinschreiben können, dass der Punkt P (0/2) ist.
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Coola (Coola)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:51: |
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Ja schön, Megamath, dann fang doch mal bitte an, zu erkären, wie man das rechnen soll, wenn man keine Koordinaten hat. |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:01: |
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@megamath
ich finds ohne Koordinaten schon etwas happig für Schüler
@Coola
Also erst mal der Fall, dass du die Koordinaten angegeben hast:
Dann kannst du die Tangente aufstellen (y=f'(x_0)*x+y_0 mit P(x_0/y_0)). Diese Tangente musst du dann mit der x-Achse schneiden und da hast du deinen Punkt Q.
Wenn du allgemein ansetzt, dann hast du P=(t/f(t))=(t/e^t+1). Jetzt setzt du in die Tangentengleichung ein:
y=f'(t)*x+e^t+1
Das musst du jetzt wieder mit der x-Achse schneiden und du hast Q in Abhängigkeit von t. Soweit klar? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3008
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:01: |
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Hi Coola,
Das werde ich Dir gerne erklären,wenn Du noch ein wenig Geduld hast.
Ich bin gerade daran,meine Lösung der
Teilaufgabe a) aufzuschreiben
Bis dann
MfG
H.R.Moser,megamath
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Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:03: |
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steht bei dir eigentlich nur x im Exponent oder hast du falsch geklammert und es steht x+1 im Exponent? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3009
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:18: |
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Hi Coola,
Wir wählen auf der Kurve den Punkt P1(x1/y1) aus.
Wegen der Kurvengleichung gilt dann:
y1 = e^x1 + 1.
Die Tangente t in P1 hat die Steigung m = e^x1 (leite y nach x ab).
Die Gleichung von t lautet also
y – y1 = m (x – 1) oder
y - y1 = e^x1 (x-x1)
Wir schneiden t mit der x-Achse, indem wir y in der
Tangentengleichung null setzen und nach x auflösen;
es kommt:
x = x1 - y1/e^x1; mit diesem Wert erhalten wir
den x-Wert des Schnittpunktes Q, somit
x = xQ = x1 - y1/e^x1 = x1 – [e^x1 + 1] / e^x1
vereinfacht:
xQ = x1 – 1 – 1/e^x1
Wir fassen x1 als Parameter auf und sehen bald,
wie es weiter geht.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Coola (Coola)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:28: |
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@ Petra: es steht nur x im Exponent. Das +1 nicht mehr.
@ Megamath: Danke erstmal, ich werd's versuchen, zu verstehen. Bei Fragen werde ich mich wieder melden. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3010
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:52: |
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Hi Coola,
Fortsetzung der Teilaufgabe a):
Wir berechnen das Quadrat des Abstandes L der Punkte
P1(x1/y1) Q( xQ / 0) mit xQ = x1 – 1 – 1/e^x1
L^2 = [1 + 1/ e^x1 ] ^ 2 + y1 ^ 2 =
[1 + 1/ e ^ x1 ] ^ 2 + [ e ^ x1 + 1] ^2
Kürzen wir e ^ x1 mit u ab, so geht es darum,
den kleinsten Wert von
L^2 = (1 + 1 / u) ^ 2 + (1 + u ) ^ 2 zu ermitteln,
wenn u variiert.
Resultat: u = 1 liefert den kleinsten Wert für L^2, nämlich
L^2 = 8; der zugehörige x1 –Wert ist x1= 0.
Tant de bruit pour une omelette !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:57: |
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äh, irgendwie bin ich blöd und mir sagt es nichtmal einer: ich hab bei der Tangentengleichung das mit dem f'(x_0)*(x-x_0) vermurkst
Tjaja, so passt ihr auf |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 14:07: |
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So, dann will ich mal mit Teil b) weitermachen:
Am besten malst du dir mal eine Skizze, dann kannst du das besser nachvollziehen.
Die Parallele zur y-Achse durch P hat die Gleichung x=x1. Wenn du deine Skizze anschaust, dann hast du zwischen der Parallelen und der x-Achse einen rechten Winkel. Du kannst also beim Aufstellen deines Flächeninhalts die Strecke 2*x1xQ als Grundseite und y1 als Höhe nehmen, denn der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich ja mit
A=1/2*Grundseite * Höhe
Also A=1/2*(x1-1-1/e^x1-x1)*y1=1/2*(-1-1/e^x1)*y1
Jetzt musst du davon ein Maximum ausrechnen, also erste Ableitung Null setzen und dann schauen, für welchen Wert von x1 A maximal ist. |
