Autor |
Beitrag |
Coola (Coola)
Mitglied Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 50 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:13: |
|
Hallo, wir hatten in unserer Klausur folgende Aufgabe, von der ich gerne wüsste, wie man sie rechnet, da wir ja eine Berichtigung machen sollen. a) An die Kurve K:y=e^x+1 wird in einem Punkt P die Tangente gelegt; sie schneide die x-Achse in Q. WIe lang ist die Strecke PQ mindestens? b) Die Tangente in P, die Parallele zur y-Achse durch P und die x-Achse begrenzen ein Dreieck. Für welchen Kurvenpunkt P wird der Flächeninhalt dieses Dreieck minimal? Wie groß ist er in diesem Fall? Danke schonmal für eure Mithilfe.
|
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 78 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:31: |
|
Hallo Coola! Wie weit kommst du denn selber, bzw. wo muss man denn anfangen mit erklären? Hast du für P einen Wert angegeben? Wenn nicht, muss man alles allgemein rechnen und das erscheint mir doch etwas unwahrscheinlich. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3006 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:48: |
|
Hi Petra, Nichts ist in einem solchen Zusammenhang unwahrscheinlich ! MfG H.R.Moser,megamath
|
Coola (Coola)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 51 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:49: |
|
Für den Punkt P sind keine Koordinaten angegeben. Und genau da ist ja mein Problem. Ich bin bisher davon ausgegangen, dass der Punkt P die Koordinaten (0/2) hat, da dieser Punkt auf der Kurve K:y liegt und am einfachsten zu berechnen (mit Logik) ist. Aber wie soll es dann weiter gehen? Ich habe keine Ahnung, wie ich den Punkt Q ausrechne, außer dass der Punkt Q die Koordinaten (x/0) hat. Aber das kann ja so nicht gehen, denn dann hätte man ja gleich hinschreiben können, dass der Punkt P (0/2) ist.
|
Coola (Coola)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 52 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:51: |
|
Ja schön, Megamath, dann fang doch mal bitte an, zu erkären, wie man das rechnen soll, wenn man keine Koordinaten hat. |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 79 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:01: |
|
@megamath ich finds ohne Koordinaten schon etwas happig für Schüler @Coola Also erst mal der Fall, dass du die Koordinaten angegeben hast: Dann kannst du die Tangente aufstellen (y=f'(x_0)*x+y_0 mit P(x_0/y_0)). Diese Tangente musst du dann mit der x-Achse schneiden und da hast du deinen Punkt Q. Wenn du allgemein ansetzt, dann hast du P=(t/f(t))=(t/e^t+1). Jetzt setzt du in die Tangentengleichung ein: y=f'(t)*x+e^t+1 Das musst du jetzt wieder mit der x-Achse schneiden und du hast Q in Abhängigkeit von t. Soweit klar? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3008 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:01: |
|
Hi Coola, Das werde ich Dir gerne erklären,wenn Du noch ein wenig Geduld hast. Ich bin gerade daran,meine Lösung der Teilaufgabe a) aufzuschreiben Bis dann MfG H.R.Moser,megamath
|
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 80 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:03: |
|
steht bei dir eigentlich nur x im Exponent oder hast du falsch geklammert und es steht x+1 im Exponent? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3009 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:18: |
|
Hi Coola, Wir wählen auf der Kurve den Punkt P1(x1/y1) aus. Wegen der Kurvengleichung gilt dann: y1 = e^x1 + 1. Die Tangente t in P1 hat die Steigung m = e^x1 (leite y nach x ab). Die Gleichung von t lautet also y – y1 = m (x – 1) oder y - y1 = e^x1 (x-x1) Wir schneiden t mit der x-Achse, indem wir y in der Tangentengleichung null setzen und nach x auflösen; es kommt: x = x1 - y1/e^x1; mit diesem Wert erhalten wir den x-Wert des Schnittpunktes Q, somit x = xQ = x1 - y1/e^x1 = x1 – [e^x1 + 1] / e^x1 vereinfacht: xQ = x1 – 1 – 1/e^x1 Wir fassen x1 als Parameter auf und sehen bald, wie es weiter geht. Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Coola (Coola)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Coola
Nummer des Beitrags: 53 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:28: |
|
@ Petra: es steht nur x im Exponent. Das +1 nicht mehr. @ Megamath: Danke erstmal, ich werd's versuchen, zu verstehen. Bei Fragen werde ich mich wieder melden. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3010 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:52: |
|
Hi Coola, Fortsetzung der Teilaufgabe a): Wir berechnen das Quadrat des Abstandes L der Punkte P1(x1/y1) Q( xQ / 0) mit xQ = x1 – 1 – 1/e^x1 L^2 = [1 + 1/ e^x1 ] ^ 2 + y1 ^ 2 = [1 + 1/ e ^ x1 ] ^ 2 + [ e ^ x1 + 1] ^2 Kürzen wir e ^ x1 mit u ab, so geht es darum, den kleinsten Wert von L^2 = (1 + 1 / u) ^ 2 + (1 + u ) ^ 2 zu ermitteln, wenn u variiert. Resultat: u = 1 liefert den kleinsten Wert für L^2, nämlich L^2 = 8; der zugehörige x1 –Wert ist x1= 0. Tant de bruit pour une omelette ! MfG H.R.Moser,megamath
|
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 81 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 13:57: |
|
äh, irgendwie bin ich blöd und mir sagt es nichtmal einer: ich hab bei der Tangentengleichung das mit dem f'(x_0)*(x-x_0) vermurkst Tjaja, so passt ihr auf |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 82 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 14:07: |
|
So, dann will ich mal mit Teil b) weitermachen: Am besten malst du dir mal eine Skizze, dann kannst du das besser nachvollziehen. Die Parallele zur y-Achse durch P hat die Gleichung x=x1. Wenn du deine Skizze anschaust, dann hast du zwischen der Parallelen und der x-Achse einen rechten Winkel. Du kannst also beim Aufstellen deines Flächeninhalts die Strecke 2*x1xQ als Grundseite und y1 als Höhe nehmen, denn der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich ja mit A=1/2*Grundseite * Höhe Also A=1/2*(x1-1-1/e^x1-x1)*y1=1/2*(-1-1/e^x1)*y1 Jetzt musst du davon ein Maximum ausrechnen, also erste Ableitung Null setzen und dann schauen, für welchen Wert von x1 A maximal ist. |