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Hansimunglück (Hansimunglück)
Neues Mitglied
Benutzername: Hansimunglück
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 11:29: | 
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y= x/2(x-1) Diese Kurve bildet zusammen mit den Geraden y=1 und y=2 eine Fläche, welche nun wiederum durch Rotation um die y-achse ein Volumen bildet. Kann mir jemand einen Lösungsvorschlag zur Berechnung dieses Volumens geben. Sehr dringend. Danke |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 161
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 16:11: |
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Ganz schnell die Lösungsidee, da ich nicht mehr viel Zeit habe.
Umkehrfunktion bilden (y = 1/(2x-1)). Grenzen 1 und 2 einsetzen: 1 und 1/3
Volumen des Rotationskörpers berechnen:
V=pò1/3 1(1/(2x-1))2dx
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2944
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 21:09: |
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Hi
Löse die Funktionsgleichung nach x auf
Du bekommst
x = 2 y / (2y-1)
für y = 1 kommt x= 2 ,
für y = 2 kommt x = 4/3
Diese Werte benötigen wir nicht.
Das Volumenelement bei der Rotation um
die y-Achse ist dV = Pi * x^2 * dy
somit V = Pi * int [4 y^2 / (2y – 1) ^2 * dy ]
untere Grenze 1,obere Grenze 2.
Wir ermitteln zunächst eine Stammfunktion für
f(y) = 4 y^2 / (2y – 1) ^2 = 4 y^2 / ( 4 y^2 – 4 y + 1)
Zu diesem Zweck zerlegen wir
diese unecht gebrochene rationale Funktion in
Partialbrüche
Resultat nach Polynomdivision:
f(y)= 1+ (4y- 1) /(4y^2–4y+1)
Es ist eine ganz andere Geschichte, eine
Stammfunktion F(y) dazu zu ermitteln;
hier das Resultat:
F(y) = y + ln (2 y -1) - ½ * 1 / (2y-1)
Probe durch differenzieren!
Setzt man die Grenzen ein, so erhalt man für
das Volumen V (Pi nicht vergessen):
V = Pi (4/3+ ln 3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 164
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 22:30: |
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Sorry, da war ich wohl zu hastig. Aber der Rechenweg stimmte schon... 
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Hansimunglück (Hansimunglück)
Junior Mitglied
Benutzername: Hansimunglück
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 14:02: |
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Hallo Megamath! Ich hab ne Frage zur Stammfunktion! Wenn ich das letzte Glied - ½ * 1 / (2y-1)
deiner Stammfunktion ableite,dann erhalte ich doch -1(4y-2)^-2, müsste aber eigentlich 4y-1 erhalten. Kannst du mir weiterhelfen? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2968
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 20:30: |
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Hi,
Merke: die Ableitung von 1/z nach z lautet: – 1 / z^2
Zur Kontrolle leiten wir
F(y) = y + ln (2 y -1) - ½ * 1 / (2y-1) nach y ab;
es entsteht unter gehöriger Berücksichtigung der Kettenregel:
F´(y) = 1 + 2 / (2 y – 1) + ½ * 2 / (2y-1)^2
Nun kommt die Bruchrechnung zum Zug; der gemeinsame Nenner
lautet (2y-1) ^ 2 = 4 y^2 – 4 y + 1
also:
F´(y) = 1 + [4 y – 2 + 1] / [(2y-1) ^ 2]
F´(y) = f(y), qed.
MfG
H.R.Moser,megamath
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