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Stammfuntion und Fläche??

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Integralrechnung » Integral/Stammfunktion » Stammfuntion und Fläche?? « Zurück Vor »

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Coola (Coola)
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Benutzername: Coola

Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 15:08:   Beitrag drucken

Hallo,

wir sollen folgende Aufgabe lösen:
Berechne die Fläche, die die Funktion f(x) = e^(-1/2*x)-4, die Tangente in dem Schnittpunkt mit der x-Achse und die y-Achse einschließen.
Hab für den Schnittpunkt mit der x-Acshe -2,77 und für die Tangentengleichung y=-2x-5,54 raus. Da wir die Fläche berechnen sollen hab ich folgenden Ansantz:
A=(Integral von -2,77 bis 0) (e^(-1/2*x)-4)-(-2x-5,54)
Dann brauche ich die Stammfuntionen, aber dabei hapert's...
Stammfuntion zu f(x)=e^(-1/2+x)-4 ist doch
F(x)=-1/2*e^(-1/2*x)-4x
Stammfuntion zu y=-2x-5,54 ist ???

Wäre cool, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Vielen Dank schon einmal
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Petra22 (Petra22)
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Junior Mitglied
Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 15:28:   Beitrag drucken

Hallo Coola,
leider ist das nicht ganz richtig. Ich gehe mal davon aus, dass du die Tangentengleichung und den Schnittpunkt richtig ausgerechnet hast, das hab ich nicht nachgeprüft. Aber die Stammfunktion: Du musst in deinem Integral erstmal die Klammern auflösen. Du musst dann die Funktion e^((-1/2)*x)+2x-26,16 integrieren. Das kannst du ganz normal Summand für Summand machen. Vorsicht: die Stammfunktion zu e^((-1/2)*x) hast du falsch berechnet. Leite doch mal deine Lösung ab! Es gibt eine ganz einfach Regel, e-Funktionen zu Integrieren: die e-Funktion ansich ist unveränderlich gegenüber Differentiation und Integration. Jetzt hast du aber eine eigene Funktion als Exponent. Hier gilt: Substituiere zunächst im Kopf den ganzen Exponent, das kannst du dann leicht integrieren und mache gleich wieder die Rücksubstitution. Dann musst du das Ganze noch durch die Ableitung deiner Funktion im Exponent dividieren. Für deine Funktion wäre das dann also:
g(x)=e^(-(1/2)*x)
z(x)=-(1/2)*x
also g(z)=e^z
G(z)=(e^z)/z'(x)
z'(x)=-1/2
mit der ganzen Rücksubstitution ist das dann:
G(x)=(e^(-(1/2)*x))/(-1/2) =-2*e^(-(1/2)*x)

Normalerweise schreibst du das natürlich nicht hin sondern überlegst es dir nur und machst die Substitution nur im Kopf!

Du erhälst also: F(x)=-2*e^(-(1/2)*x)+x^2+26,16x
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Coola (Coola)
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Benutzername: Coola

Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 17:39:   Beitrag drucken

Hi,

danbke für deine Antwort, aber ehrlich gesagt: ich hab null verstanden.
Geht das nicht übersichtilicher und einfacher?
Danke dennoch für deine Mühe
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Petra22 (Petra22)
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Junior Mitglied
Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 17:57:   Beitrag drucken

ok, ich versuchs nochmal: hast du's soweit verstanden, bis zu der Funktion, die du integrieren musst? Du löst einfach deine ganzen Klammern auf und dann sieht das schon freundlicher aus.
Weißt du, wie du deine e-Funktion ableiten würdest? Du nimmst da ja den Exponent als innere Funktion und dein e^ das Ganze ist deine äußere Funktion. Zum Ableiten lässt du deine e-Funktion so stehen, wie sie ist und multiplizierst sie aber mit der Ableitung der inneren Funktion. Das ist auch das, was du gemacht hast.
Zum Integrieren lässt du die e-Funktion wieder stehen und dividierst sie diesmal mit der Ableitung der inneren Funktion.
Die anderen zwei Glieder kannst du normal integrieren: 2x ist integriert (1/2)*x^2 und 26,16 ist integriert 26,16x.

Ich hoffe, das hilft dir jetzt mehr, ansonsten sag konkret, wo's hängt!
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Coola (Coola)
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Benutzername: Coola

Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 18:40:   Beitrag drucken

Hi,

wir haben aber in der Schule Folgendes gelernt:
f(x)=x^(ka)
F(x)=k*x^(ka) Stammfunktion

Wie kommst du dann auf die 26,16x ???
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Petra22 (Petra22)
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Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 19:07:   Beitrag drucken

was ist denn k und was ist a? Sind das Variablen? Du darfst auf jeden Fall nicht verwechseln, dass du in deiner Aufgabe e als Basis hast und nicht x! Das ist ein Unterschied.

Auf die 26,16 komme ich, indem ich die Klammern ausmultipliziere. Kommst du auch soweit? Eigentlich steht dann da: 26,16x^0. Wenn du jetzt den Exponent um eins erhöhst hast du 26,16x^1. Dann musst du durch den neuen Exponent noch dividieren aber wenn du durch 1 dividierst macht das keinen Unterschied.

Falls ich deine Funktion falsch interpretiert haben sollte, dann mach bitte die Klammern eindeutig!
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Coola (Coola)
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Benutzername: Coola

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 19:16:   Beitrag drucken

Ja, k und a sind Variblen. Aber wenn ich statt x (ebenfalls eine Variable) e einsetze, dann kann ich mit der Funktion doch genauso verfahren, wie als wenn x da stünde. Deswegen komme ich auf andere Lösung als du. Und das mit der 26, 16 hab ich auch noch nicht gerafft...
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Petra22 (Petra22)
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Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 19:34:   Beitrag drucken

Nein, da gibt es einen Unterschied! e ist die eulersche Zahl. Die gibt es auch auf deinem Taschenrechner und die ist definiert als e=2,718281828... x dagegen ist die Variable, nach der du integrierst.

Das was du geschrieben hast, was ihr in der Schule hattet, versteh ich nicht. Kannst du da ein Beispiel mit Zahlen machen?

Das mit den 26,16 ist so:
die Funktion, die du integrieren sollst ist g(x)=e^(-1/2)*x-4-(-2x-5,54). So wie ich das sehe, sthet die -4 nicht mehr im Exponent, ist das richtig? Dann löst du die Klammer vor der ein minus steht auf: g(x)=e^(-1/2)*x-4+2x+5,54
Uups, ich merk grad, das das mit der 26,16 natürlich völliger Quatsch war!
Du kannst jetzt noch zusammenfassen und dann steht da: g(x)=e^(-1/2)*x+2y+1,54
Soweit klar?
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Coola (Coola)
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Benutzername: Coola

Nummer des Beitrags: 49
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 19:54:   Beitrag drucken

Aber der Ausdruck mit der -2x-5,54 ist doch die Tangentengleichung! WIeso hast du die einfach hinter den Funktionsterm geschrieben? das man nicht nach e integrieren muss ist mir innerhalb der letzten zwei Minuten dann auch klar geworden....
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Petra22 (Petra22)
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Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 20:19:   Beitrag drucken

Ich hab die nicht einfach dahinter geschrieben. Ursprünglich hast du das so aufgeschrieben und ich kann dir auch sagen warum: du willst die untere Funktion von der oberen abziehen. Und das ist auch genau richtig so!

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