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Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied
Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 11:11: | 
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Hallo zusammen!
Wer kann mir hier helfen?
Die Grundfläche ABCD einer geraden, quadratischen Pyramide mit der Spitze S(8/-4/7) liegt in der Ebene E: 2x-2y+z-13=0. Die Kante SA ist parallel zum Vektor v=(2/-5/4). Bestimme den Höhenfusspunkt F, die Ecken ABCD und das Volumen der Pyramide.
Vielen Dank im voraus!
Sandra |
Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 284
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 11:58: |
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Normalvektor der Ebene : (2|-2|1)
Gerade durch S in Richtung Normalvektor schneidet Ebene im gesuchten Fußpunkt.
x = (8|-4|7) + r(2|-2|1)
x = 8 + 2r
y = -4 - 2r
z = 7 + r
2(8+2r) - 2(-4-2r) + 7+r - 13 = 0
16 + 4r + 8 + 4r - 6 + r = 0 ==> 9r = -18 ==> r = -2
in Geradengleichung x = (8|-4|7) - 2(2|-2|1) = (4|0|5) ist der Fußpunkt.
Gerade durch S in Richtung (2/-5/4) schneidet Ebene in A geht genauso.
x = (8|-4|7) + r(2|-5|4)
x = 8 + 2r und y = -4 - 5r und z = 7 + 4r in Ebene einsetzen
2(8+2r) - 2(-4-5r) + 7+4r - 13 = 0
16 + 4r + 8 + 10r - 6 + 4r = 0 ==> 18r = -18 ==> r = -1
in Geradengleichung x = (8|-4|7) - (2|-5|4) = (6|1|3) ist Punkt A
(Beitrag nachträglich am 19., Oktober. 2003 von Georg editiert)
www.georgsimon.de
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 285
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 12:24: |
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Vektor FC = Vektor AF = (4-6|0-1|5-3) = (-2|-1|2)
Vektor OC = Vektor OF + Vektor FC = (4|0|5) + (-2|-1|2) = (2|-1|7) ist der Punkt C
Vektor FB ist senkrecht zu Normalvektor und Vektor AF . Seine Richtung lässt sich als Kreuzprodukt ermitteln :
Richtung = (2|-2|1) X (-2|-1|2) = (-4+1|-2-4|-2-4) = (-3|-6|-6)
nach Anpassung der Länge : Vektor FB = (-1|-2|-2)
Vektor OB = Vektor OF + Vektor FB = (4|0|5) + (-1|-2|-2) = (3|-2|3) ist der Punkt B
Punkt D ähnlich Punkt C
Volumen = (1/3)*Grundfläche*Höhe
Grundfläche ist ein Parallelogramm, Fläche also mit Determinante berechenbar.
(Beitrag nachträglich am 19., Oktober. 2003 von Georg editiert)
www.georgsimon.de
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 12:31: |
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Okay, bleiben uns noch die anderen drei Punkte:
C ist einfach, denn
Vektor AC =
2*Vektor AF =
2* ((4/0/5)-(6/1/3))=
2* (-2/-1/2)=
(-4/-2/4).
Damit hat C die Koordinaten (2/-1/7).
Um B und D zu ermitteln, benötigen wir den Vektor BD, der orthogonal ist zu SF und zu AC und der dieselbe Länge hat wie AC.
Wegen der Orthogonalität muss also zunächst gelten:
-4x-2y+4z=0 (orth. zu AC)
4x-4y+2z=0 (orth. zu SF)
Durch Addition erhält man
y=z und x=y-(1/2)z
Für (willkürlich gewählt) z=2 ergibt das den Vektor (1/2/2). Er hat die Länge 3, müsste aber die Länge 6 haben (wie der Vektor AC = (-4/-2/4)).
Also ist (2/4/4) (oder auch (-2/-4/-4)) ein passender Vektor.
Es gilt:
AB =
AF + (1/2)BD =
(1/2)AC + (1/2)BD =
(-1/1/4)
B hat also die Koordinaten (5/2/7). Die Koordinaten von D findet man z.B. über
AD = (1/2)AC - (1/2)BD
Sie lauten (3/-2/3)
Zum Volumen:
Seitenlängen des Quadrates: Wurzel 18
Fläche des Quadrates: 18
Länge des Höhenvektors: 6
Also V=18*6*(1/3)=36
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied
Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 15:26: |
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Vielen Dank euch zwei! Ihr habt mir sehr geholfen!
Viele Grüsse
Sandra |
