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Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 14 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 11:11: |
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Hallo zusammen! Wer kann mir hier helfen? Die Grundfläche ABCD einer geraden, quadratischen Pyramide mit der Spitze S(8/-4/7) liegt in der Ebene E: 2x-2y+z-13=0. Die Kante SA ist parallel zum Vektor v=(2/-5/4). Bestimme den Höhenfusspunkt F, die Ecken ABCD und das Volumen der Pyramide. Vielen Dank im voraus! Sandra |
Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 284 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 11:58: |
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Normalvektor der Ebene : (2|-2|1) Gerade durch S in Richtung Normalvektor schneidet Ebene im gesuchten Fußpunkt. x = (8|-4|7) + r(2|-2|1) x = 8 + 2r y = -4 - 2r z = 7 + r 2(8+2r) - 2(-4-2r) + 7+r - 13 = 0 16 + 4r + 8 + 4r - 6 + r = 0 ==> 9r = -18 ==> r = -2 in Geradengleichung x = (8|-4|7) - 2(2|-2|1) = (4|0|5) ist der Fußpunkt. Gerade durch S in Richtung (2/-5/4) schneidet Ebene in A geht genauso. x = (8|-4|7) + r(2|-5|4) x = 8 + 2r und y = -4 - 5r und z = 7 + 4r in Ebene einsetzen 2(8+2r) - 2(-4-5r) + 7+4r - 13 = 0 16 + 4r + 8 + 10r - 6 + 4r = 0 ==> 18r = -18 ==> r = -1 in Geradengleichung x = (8|-4|7) - (2|-5|4) = (6|1|3) ist Punkt A (Beitrag nachträglich am 19., Oktober. 2003 von Georg editiert) www.georgsimon.de
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 285 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 12:24: |
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Vektor FC = Vektor AF = (4-6|0-1|5-3) = (-2|-1|2) Vektor OC = Vektor OF + Vektor FC = (4|0|5) + (-2|-1|2) = (2|-1|7) ist der Punkt C Vektor FB ist senkrecht zu Normalvektor und Vektor AF . Seine Richtung lässt sich als Kreuzprodukt ermitteln : Richtung = (2|-2|1) X (-2|-1|2) = (-4+1|-2-4|-2-4) = (-3|-6|-6) nach Anpassung der Länge : Vektor FB = (-1|-2|-2) Vektor OB = Vektor OF + Vektor FB = (4|0|5) + (-1|-2|-2) = (3|-2|3) ist der Punkt B Punkt D ähnlich Punkt C Volumen = (1/3)*Grundfläche*Höhe Grundfläche ist ein Parallelogramm, Fläche also mit Determinante berechenbar. (Beitrag nachträglich am 19., Oktober. 2003 von Georg editiert) www.georgsimon.de
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 64 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 12:31: |
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Okay, bleiben uns noch die anderen drei Punkte: C ist einfach, denn Vektor AC = 2*Vektor AF = 2* ((4/0/5)-(6/1/3))= 2* (-2/-1/2)= (-4/-2/4). Damit hat C die Koordinaten (2/-1/7). Um B und D zu ermitteln, benötigen wir den Vektor BD, der orthogonal ist zu SF und zu AC und der dieselbe Länge hat wie AC. Wegen der Orthogonalität muss also zunächst gelten: -4x-2y+4z=0 (orth. zu AC) 4x-4y+2z=0 (orth. zu SF) Durch Addition erhält man y=z und x=y-(1/2)z Für (willkürlich gewählt) z=2 ergibt das den Vektor (1/2/2). Er hat die Länge 3, müsste aber die Länge 6 haben (wie der Vektor AC = (-4/-2/4)). Also ist (2/4/4) (oder auch (-2/-4/-4)) ein passender Vektor. Es gilt: AB = AF + (1/2)BD = (1/2)AC + (1/2)BD = (-1/1/4) B hat also die Koordinaten (5/2/7). Die Koordinaten von D findet man z.B. über AD = (1/2)AC - (1/2)BD Sie lauten (3/-2/3) Zum Volumen: Seitenlängen des Quadrates: Wurzel 18 Fläche des Quadrates: 18 Länge des Höhenvektors: 6 Also V=18*6*(1/3)=36
Mit freundlichen Grüßen Jair
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Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 15 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 15:26: |
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Vielen Dank euch zwei! Ihr habt mir sehr geholfen! Viele Grüsse Sandra |