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Pattysunny (Pattysunny)
Neues Mitglied
Benutzername: Pattysunny
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 09:34: | 
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wie diskutiert man eine funktion ?
Diskutieren sie eine Funktion
f: x -> 4x4 - 4 x2
Bestimmen sie eine Funktion der Form
f: x-> ax3 +bx2 + cx +d
die im Punkt (-1/6) einen Hochpunkt und in (0/4) einen Wendepunkt hat.
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 264
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 12:15: |
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Ich vermute f: x -> 4 * x^4 - 4 * x^2
Für Kurvendiskussionen gibt es kein festes Schema. Du musst solange rechnen bis du den Verlauf des Graphen weißt.
Normalerweise sollte man mit der Definitionsmenge anfangen. Das sind bei dieser Funktion alle reellen Zahlen, weil der Funktionsterm keine Rechenarten mit eingeschränkter Definitionsmenge enthält. Wahrscheinlich habt ihr auch gelernt, dass es eine ganzrationale Funktion ist und ganzrationale Funktionen immer für alle reellen Zahlen definiert sind.
Außerdem solltet ihr gelernt haben, dass solche Funktionen zur y-Achse symmetrisch sind WENN nur gerade Exponenten vorkommen. Wenn nicht, musst du es nachrechnen :
Symmetrien zum Koordinatensystem findet man mit dem Ansatz f(-x) :
f(-x) = 4 * (-x)^4 - 4 * (-x)^2 = 4 * x^4 - 4 * x^2 = f(x) also symmetrisch zur y-Achse
Damit hast du für den Rest nur noch die halbe Arbeit, weil es genügt, die rechte Hälfte zu rechnen.
Es könnte sein, dass der Graph die x-Achse schneidet. Für diese so genannten Nullstellen würde dann gelten f(x) = 0 ( daher der Name Nullstelle ). Also
f(x) = 0
4 * x^4 - 4 * x^2 = 0 | : 4
x^4 - x^2 = 0
x² * ( x² - 1 ) = 0
Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Also
x² = 0 ==> x1 = 0 oder
x² - 1 = 0 ==> x2 = -1 und x3 = 1 ( erwartungsgemäß symmetrisch zur y-Achse )
Es könnte sein, dass der Graph Hoch- und Tiefpunkte hat. Für die zugehörigen x-Werte würde dann gelten f'(x) = 0 . Also brauchst du erst einmal die erste Ableitung :
f'(x) = 16 * x³ - 8 * x
f'(x) = 0
16 * x³ - 8 * x = 0
x * ( 16x² - 8 )
Ähnlich wie vorher x1 = 0 , x2 = -(1/2)Wurzel(2) , x3 = (1/2)Wurzel(2)
Diese Verdachtstellen musst du jetzt noch überprüfen, z. B. mit der zweiten Ableitung
f''(x) = 48 * x² - 8
f''( x1=0 ) = -8 < 0 Dort gibt es also einen Hochpunkt
f''( x2=(1/2)Wurzel(2) ) = 16 > 0 Dort gibt es also einen Tiefpunkt, links ebenso wegen Symmetrie
Jetzt käme das selbe Spiel für eventuelle Wendepunkte, aber ich muss weg.
www.georgsimon.de
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 266
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 17:29: |
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Es könnte sein, dass der Graph Wendepunkte hat. Für die zugehörigen x-Werte würde dann gelten
f''(x) = 0
f''(x) = 48 * x² - 8
48 * x² - 8 = 0
x1 = -(1/6)*Wurzel(6) , x2 = (1/6)*Wurzel(6)
Diese Verdachtstellen musst du jetzt noch überprüfen, z. B. mit der dritten Ableitung
f'''(x) = 96 * x also für x1 und x2 jeweils ungleich Null, also zwei Wendepunkte
Alle y-Werte musst du mit f(x) ermitteln
Hochpunkt f(0) = 0
beide Tiefpunkte f( (1/2)Wurzel(2) ) = 1-2 = -1
beide Wendepunkte f( (1/6)*Wurzel(6) ) = 1/9 - 6/9 = -5/9
für sehr große x formst du f(x) um : f(x) = 4x²(x²-1)
Für sehr große x spielt das -1 keine Rolle mehr, kommt f(x) also dem Ausdruck 4*x^4 beliebig nahe, strebt also nach +unendlich.
Jetzt kannst du den Graphen zeichnen.
Wenn du einen Windows-Computer hast, dann kannst du die Probe mit dem Freeware-Programm Integral-Ass von Heiko Horn machen. Ich benutze es auf Windows 95 und Windows 98 ständig. Heiko Horn ist nicht mehr zu finden, aber sein Programm gibt's hier http://georgsimon.de/intass.zip .
www.georgsimon.de
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 268
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 18:30: |
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Habe gerade noch etwas gefunden :
http://papaspyrou.bei.t-online.de/school/mathe/kurvdisk/kurvdisk.htm
www.georgsimon.de
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 269
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 18:50: |
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Bestimmen sie eine Funktion der Form f: x-> ax³ + bx² + cx + d
die im Punkt (-1/6) einen Hochpunkt und in (0/4) einen Wendepunkt hat.
f(-1) = 6 wegen (-1/6) ist Element des Graphen
f'(-1) = 0 wegen (-1/6) ist Hochpunkt
f(0) = 4 wegen (0/4) ist Element des Graphen
f''(0) = 0 wegen (0/4) ist Wendepunkt
Die Ableitungen allgemein
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax +2b
a(-1)³ + b(-1)² + c(-1) + d = 6
3a(-1)² + 2b(-1) + c = 0
a*0 + b*0 + c*0 + d = 4
6a*0 + 2b = 0
- a + b - c + d = 6
3a - 2b + c = 0
d = 4
2b = 0 ==> b = 0
III und IV in I und II
- a - c + 4 = 6 ==> c = - 2 - a
3a + c = 0
3a - 2 - a = 0 ==> a = 1 ==> c = -3
f(x) = x³ - 3x + 4
Ich sammle Aufgaben. Sagst du mir, in welche Klasse diese Aufgabe gehört ?
(Beitrag nachträglich am 10., Oktober. 2003 von Georg editiert)
(Beitrag nachträglich am 10., Oktober. 2003 von Georg editiert)
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Pattysunny (Pattysunny)
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Benutzername: Pattysunny
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 09:34: |
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es gehört in die 12 danke für die hilfe werde gleich alles schritt für schritt durchgehen um es zu verstehen . |
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