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Lockere Folge XXXIV : eine Gleichung ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Komplexe Zahlen » Lockere Folge XXXIV : eine Gleichung dritten Grades in z. « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2642
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:19:   Beitrag drucken

Hi allerseits,20.09.12:19

Mit der Aufgabe LF XXXIV
erscheint nochmals eine Aufgabe über komplexe Zahlen.
Die folgende Gleichung in z soll mit rein algebraischen Methoden
exakt gelöst werden.
Die Gleichung lautet:

z^3 = 11 + 2 i
Man darf davon ausgehen, dass die Zahl z = z1 = - 1 – 2 i
eine Lösung der Gleichung ist.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 870
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 13:46:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

diese art Aufgaben gefallen mir:

Lösung:

durch Polynomdivision kommt man auf die in z quadratische Gleichung:

z^2+(-1-2i)z+(-3+4i)=0

und die kann dann bequem durch durch die bekannten Lösungsformeln gelöst werden. knifflig wird es nur bei der Diskriminante, aber wenn man die vorgänger Aufgabe gelöst hat sollte man Wurzeln aus komplexen zahlen ziehen können....

soll ich das komplette Ergebnis Preisgeben?

mfg

Niels
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2646
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 14:02:   Beitrag drucken

Hi Niels,20.09.15:02

Genau so ist es; eine Aufgabe baut auf der anderen auf.
Ich komme später mit einer andern,auch lehrreichen Methode, auf das Thema zurück.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2647
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 15:20:   Beitrag drucken

Hi Niels,20.09.16:20

Ich stelle jetzt die angekündigten Lösungsvarianten ins Netz,
wie immer zu Nutz und Frommen, wer will!

A]

Die eine der drei Lösungen der komplexen Gleichung
z^3 = 11 + i 2 ist die Zahl z = - 1 – i 2.
Wir bezeichnen sie mit z I
Wir können die Probe auf ´ s Exempel machen,
und wir finden tatsächlich durch Potenzieren mit
einer bekannten binomischen Formel:
(- 1 – i 2) ^3 = 11 + i 2 , wie es sein muss.

Nun drehen wir diesen Punkt z I der Gaussschen
Zahlenebene mit dem Nullpunkt O als Zentrum um 120°.
Der gedrehte Punkt sei z II.
Diesen drehen wir nochmals um 120 ° um dasselbe
Zentrum, Endlage z III.

Mit diesen drei komplexen Zahlen haben wir dann
die drei Lösungen der gegebenen Gleichung.
Eine Drehung der genannten Art wird bekanntlich dadurch
bewerkstelligt, dass wir die Ausgangszahl (Originalpunkt)
mit d = cos 120° + i sin 120° multiplizieren.
Wir schreiben d algebraisch und erhalten:
d = - ½ + i * ½ wurzel(3)
Wir bekommen der Reihe nach:
z II = z I * d = ½ + wurzel(3) + i {1 – ½ wurzel(3)}
z III = z II * d = ½ - wurzel(3) + i {1 + ½ wurzel(3)}

Fortsetzung folgt.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2648
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 15:30:   Beitrag drucken

Hi allerseits,20.09.16:30
Hi Niels,

Es folgt eine zweite Methode zur Ermittlung der beiden
anderen Lösungen

Wir nehmen an, dass wir eine Lösung z = u der Gleichung
z^3 - (11+ i 2) = 0 bereits kennen.
In der ersten Arbeit erkannten wir u = - 1 – i 2 als
Lösung.
Wir zeigen nun in der folgenden Arbeit, wie man die beiden
andern Lösungen v und w auch finden kann.
Wir setzen den Satz von Vieta für kubische Gleichungen ein!
Für die allgemeine Gleichung dritten Grades
z^3 + az ^ 2 + bz + c = 0 mit den Lösungen z1, z2, z3 lautet
die Formelgruppe von Vieta:
x1 + x2 + x3 = - a
x1 x2 + x 2 x3 + x3 x1 = b
x1 x2 x3 = - c
In unserem Fall gilt:
u + v + w = 0
u v w = 11 + i 2.
u ist bekannt, wie weiter oben erwähnt.
Es bleibt ein System mit zwei Unbekannten v , w:
v + w = 1 + i 2
v w = (11 + i 2) / (-1-i2)
Die letzte Gleichung lautet vereinfacht:
v w = - 3 + i 4
Darin ersetzen wir w durch 1 + i2 – v und erhalten
v ^ 2 – (1 + i 2 ) v – 3 + i 4 = 0
Das ist eine quadratische Gleichung für v mit komplexen
Koeffizienten, die wir in souveräner Art auflösen.

Resultat:
v = ½ + i 1 + (+-) wurzel [9/4 - i3 ]
Es gibt hier das kleine Problem der Ermittlung der
Quadratwurzel aus der komplexen Zahl 9/4 – i3
Das ist eine andere, aber harmlose Geschichte.
Wir habe das in der Aufgabe LF XXXIII gelernt,
wie das geht, hihi.

Ergebnis:
½ wurzel (9 – i 12 ) = wurzel(3) – i ½ wurzel(3).
Wir erhalten für v mit dem Plus-Zeichen das Resultat:
v = ½ + wurzel(3) + i {1 – ½ wurzel(3)}
Das Minuszeichen liefert, wie man sich leicht überlegt,
die dritte Lösung
w =½ - wurzel(3) + i {1 + ½ wurzel(3)},
im Einklang mit früheren Ergebnissen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath



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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 872
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 16:53:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

deine beiden Lösungsmethoden sind hoch interessant, aber nicht neu.

Bei deiner ersten Lösungsmethode mit den Drehungen, hast du im Prinzip ja den Satz von Moivre angewant. und Bei der 2. Lösungsmethode entspricht deine in v quadratische Gleichung meiner mit Polynomdivisiongewonnenen Gleichung.

Läuft also alles im Prinzip auf das gleiche heraus.

Dennoch, besten Dank für deine Ausführungen.

mfg

Niels
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2650
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 17:08:   Beitrag drucken


Hi Niels,20.09.18.08

Von all dem,was wir machen,braucht auch gar nichts Neues zu figurieren; das fehlte noch !
Es kommt nur darauf an,zur rechten Zeit am richtigen Ort das Beste und Wirksamste einzusetzen und auch in der Methode daran zu
denken:
variatio delectat, Abwechslung gefällt

MfG
H.R.Moser,megamath

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