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Dreiecksaufgabe 55: Extremalaufgabe 4

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Dreiecksaufgabe 55: Extremalaufgabe 4 « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2638
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 18:18:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Dreiecksaufgabe 55 ist wiederum eine Extremalaufgabe.
Sie wurde am 18. Dezember 2001 im diesem Forum gestellt,
aber nie vollständig gelöst.
Es ist aller höchste Zeit, dies nachzuholen und damit
Das Renommee von zahlReich aufzupolieren.
Alles hat seine Zeit, alles zur richtigen Zeit.
Die Aufgabe lautet (im Wortlaut):

Hi, die Aufgabe geht noch weiter, und jetzt bin ich wirklich
mit meinem Latein am Ende.

Für jede reelle Zahl t ist eine Funktion f gegeben durch
f(x)=(t+lnx)/x ;x>0
Das Schaubild von f sei K.

a)
Die Gerade x=1 schneidet K in P und K* in P* (t ungleich t*).
Die Kurventangente T in P und die Kurventangente T* in P*
schneiden sich in Q.
Zeige,dass die Koordinaten von Q unabhängig sind von t und t*.

b)
Die Punkte P, P* und Q aus Teilaufgabe a) sind Eckpunkte
eines Dreiecks. Welche Beziehung besteht zwischen t und t*,
wenn dieses Dreieck in Q einen rechten Winkel hat?
Für welchen Wert t mit t<t* wird der Inhalt dieses
rechtwinkligen Dreiecks minimal (relatives Minimum)?

Hoffentlich sind wir mit unserem Latein nicht am Ende.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 881
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:02:   Beitrag drucken

Hi,

ich hoffe doch nicht das wir mit unserem Latein am Ende sind!

Hier erst mal ein paar zwischen Ergebnisse, falss jemand weiter rechnen möchte, genaueres später:

a)
Die Schnittpunkte lauten: P (1|t) und P* (1|t*)

Damit kann man die Tangenten aufstellen und zeigen das Q (2|1) unabhängig von t und t* ist!

b)
Es muss gelten:
tt* - t - t* + 2 = 0

Bis später

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 882
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:17:   Beitrag drucken

Achso,

zur Nachfrage: Bei der Extremalaufgabe stoße ich auf eine Gleichung 4ten Grades in t. Diese liefert mir auch 2 Minima, von dem eines t<t* ist, ich kann es aber nur als Näherung bestimmen, liege ich da auf dem richtigen Weg oder gehts auch einfacher?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2644
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 13:46:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,20.09.14:46

Die Beziehung zwischen t und t* ist richtig.
Bei mir erscheint eine gebrochene rationale
Funktion f(t) ,die leicht zu bewältigen ist:
Dreiecksfläche F = ½ abs( t - t*),vorerst:
f(t) = t – t* = t – (t-2)/(t-1) usw
Res:
t = 0 , t* = 2
°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 885
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 14:52:   Beitrag drucken

Hi,

hier meine Lösungswege:

Die Punkte P und P*, erhält man einfach indem man x=1 in die Funktion Gleichung einsetzt und weiß das ln(1)=0 ist!

P(1|t) und P*(1|t*), nun berechnen wir f'(P) und f'(P*) um die Tangenten bestimmen zu können!

f'(x)= (1-t-ln(x))/x^2

f'(P)=(1-t) , f'(P*)=(1-t*)

T(P)=(1-t)*x+(2t-1)
T(P*)=(1-t*)*x+(2t*-1) sind die Tangenten

Gleichsetzen und umformen liefert den Schnittpunkt Q (2|1) unabhängig von t und t*.

Soll das Dreick nun bei Q einen rechtenWinkel haben, so müssen sich die Geraden und PQ und P*Q bei Q senkrecht schneiden! D.h. m1*m2=-1. So kommt man auf die besagtre Relation!

mfg

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