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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2638 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 18:18: |
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Hi allerseits Die Dreiecksaufgabe 55 ist wiederum eine Extremalaufgabe. Sie wurde am 18. Dezember 2001 im diesem Forum gestellt, aber nie vollständig gelöst. Es ist aller höchste Zeit, dies nachzuholen und damit Das Renommee von zahlReich aufzupolieren. Alles hat seine Zeit, alles zur richtigen Zeit. Die Aufgabe lautet (im Wortlaut): Hi, die Aufgabe geht noch weiter, und jetzt bin ich wirklich mit meinem Latein am Ende. Für jede reelle Zahl t ist eine Funktion f gegeben durch f(x)=(t+lnx)/x ;x>0 Das Schaubild von f sei K. a) Die Gerade x=1 schneidet K in P und K* in P* (t ungleich t*). Die Kurventangente T in P und die Kurventangente T* in P* schneiden sich in Q. Zeige,dass die Koordinaten von Q unabhängig sind von t und t*. b) Die Punkte P, P* und Q aus Teilaufgabe a) sind Eckpunkte eines Dreiecks. Welche Beziehung besteht zwischen t und t*, wenn dieses Dreieck in Q einen rechten Winkel hat? Für welchen Wert t mit t<t* wird der Inhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks minimal (relatives Minimum)? Hoffentlich sind wir mit unserem Latein nicht am Ende. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 881 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:02: |
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Hi, ich hoffe doch nicht das wir mit unserem Latein am Ende sind! Hier erst mal ein paar zwischen Ergebnisse, falss jemand weiter rechnen möchte, genaueres später: a) Die Schnittpunkte lauten: P (1|t) und P* (1|t*) Damit kann man die Tangenten aufstellen und zeigen das Q (2|1) unabhängig von t und t* ist! b) Es muss gelten: tt* - t - t* + 2 = 0 Bis später mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 882 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:17: |
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Achso, zur Nachfrage: Bei der Extremalaufgabe stoße ich auf eine Gleichung 4ten Grades in t. Diese liefert mir auch 2 Minima, von dem eines t<t* ist, ich kann es aber nur als Näherung bestimmen, liege ich da auf dem richtigen Weg oder gehts auch einfacher? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2644 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 13:46: |
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Hi Ferdi,20.09.14:46 Die Beziehung zwischen t und t* ist richtig. Bei mir erscheint eine gebrochene rationale Funktion f(t) ,die leicht zu bewältigen ist: Dreiecksfläche F = ½ abs( t - t*),vorerst: f(t) = t – t* = t – (t-2)/(t-1) usw Res: t = 0 , t* = 2 °°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 885 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 14:52: |
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Hi, hier meine Lösungswege: Die Punkte P und P*, erhält man einfach indem man x=1 in die Funktion Gleichung einsetzt und weiß das ln(1)=0 ist! P(1|t) und P*(1|t*), nun berechnen wir f'(P) und f'(P*) um die Tangenten bestimmen zu können! f'(x)= (1-t-ln(x))/x^2 f'(P)=(1-t) , f'(P*)=(1-t*) T(P)=(1-t)*x+(2t-1) T(P*)=(1-t*)*x+(2t*-1) sind die Tangenten Gleichsetzen und umformen liefert den Schnittpunkt Q (2|1) unabhängig von t und t*. Soll das Dreick nun bei Q einen rechtenWinkel haben, so müssen sich die Geraden und PQ und P*Q bei Q senkrecht schneiden! D.h. m1*m2=-1. So kommt man auf die besagtre Relation! mfg |
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