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Dreiecksaufgabe 54: Extremalaufgabe 3

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2637
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 18:11:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Bei der Dreiecksaufgabe 54 ist wiederum ein
Extremalproblem zu lösen.
In einem cartesischen Koordinatensystem ist eine
Ellipse durch ihre Gleichung gegeben:
b ^ 2 x ^2 + a ^2 y ^2 = a ^2 b ^2 .
In diese Ellipse ist ein Dreieck, dessen eine Seite
die Verbindungsstrecke der Endpunkte der grossen
und kleinen Achse und dessen gegenüberliegende Ecke
ein Punkt des zugehörigen Ellipsenbogens ist, so zu legen,
dass seine Fläche ein Maximum ist.
Wie gross ist diese maximale Fläche?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 883
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:46:   Beitrag drucken

Hi,

auch hier habe ich ein Ergebniss, bitte prüfen! Wenns stimmt, gibts heute noch den Weg!

Das gesuchte Dreieck hat die Eckpunkte:

( a | 0 ) , ( b | 0 ) und ( a/sqrt(5) | 2*b/sqrt(5) )

Die maximale Fläche ist dann

F = 0,5 * [ (3-sqrt(5))/sqrt(5) ] * ab ~ 1,3666*ab

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2643
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 12:51:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,20.09.13:51

Bei meiner Lösung tritt keine „Wurzel aus 5“ auf
sondern „Wurzel 2“.
Diesmal geht es nicht nach dem goldenen Schnitt.
Das Stichwort wäre eher „konjugierte Durchmesser“.
Aber man kann sich irren. Ich werde nachrechnen.
Jedenfalls ist derjenige Punkt auf dem Ellipsenquadrant
zu suchen, in welchem die Tangente mit Berührpunkt T
parallel zur Sehne A(a/0) B(0/b) verläuft.
Der Halbmesser OT ist dann konjugiert zur Richtung der
Sehne AB.

Weiterhin viel Spaß
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 884
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 14:30:   Beitrag drucken

Hi megamath,

du hast recht ein dummer Rechenfehler meinersteits!

Das Dreieck lautet dann:

(a|0) , (0|b) und (a/sqrt(2)|b/sqrt(2)).

Der Maximale Flächeninhalt betragt dann:

F = (1/2) * (sqrt(2)-1) * a * b !

Ich bin die Sache aber ganz anders angegangen, ganz nach dem Motto: Chacun a son goût !

Ich habe die Dreiecksflächenformel (1/2)*g*h genommen!

g ist die Grundseite, die Strecke zwischen A und B also g = sqrt (a^2 + b^2)

h die Höhe ist der Abstand des Punktes T (u|v) auf dem Ellipsenbogen zu der Geraden durch A und B. Nach Ludwig Otto Hesse ergibt sich:

( bu + av -ab )/sqrt(a^2 + b^2) = 0

nun alles einsetzen, die Wurzel hebt sich Weg!

F = 0,5 * ( bu + av - ab)

Nun zu u und v. T ist ein laufender Punkt auf dem oberen Ellipsenhalbbogen, also u=x und v=(b/a)*sqrt(a^2-x^2)

Wir erhalten unsere Zielfunktion:

(1/2) * (bx + b*sqrt(a^2-x^2) -ab) mit den bekannten Extrema!

Bei letzterer Rechung hat sich bei mir der Fehler eingeschlichen!

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 874
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 17:24:   Beitrag drucken

Wozu duch Herr Hesse gut ist....

gruß

Niels
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2652
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 18:01:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,20.09.19:00

Jetzt hat´s geklappt,nicht nur wegen Hesse.
Danke!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2668
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 12:40:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,22.09.13:40

Eine Schlussbemerkung, im Hinblick auf diejenigen
Leser, die sich über Hesse mokieren oder sogar unter
einer Hesse-Phobie leiden; so etwas soll´s geben.

Man kann die Fläche des involvierten Dreiecks ATB,
durch die Koordinaten der Ecken bekanntlich auch mit
einer dreireihigen Determinante D ausdrücken.
In unserem (extremalen) Fall treten die folgenden
Koordinaten auf:
xA = a, yA = 0 ;
xT = a/wurzel(2) , yT = b/wurzel(2) ;
xB = 0 , yB = b.
Die Determinante lautet demnach:
D = ([[a,0,1],[a/wurzel(2), b/wurzel(2), 1],[0,b,1]])
Schreibweise: Zeile um Zeile wie bei Maple.
Für die Fläche kommt:
F = ½ D = ½ [wurzel(2)-1] ab
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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