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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2637 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 18:11: |
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Hi allerseits Bei der Dreiecksaufgabe 54 ist wiederum ein Extremalproblem zu lösen. In einem cartesischen Koordinatensystem ist eine Ellipse durch ihre Gleichung gegeben: b ^ 2 x ^2 + a ^2 y ^2 = a ^2 b ^2 . In diese Ellipse ist ein Dreieck, dessen eine Seite die Verbindungsstrecke der Endpunkte der grossen und kleinen Achse und dessen gegenüberliegende Ecke ein Punkt des zugehörigen Ellipsenbogens ist, so zu legen, dass seine Fläche ein Maximum ist. Wie gross ist diese maximale Fläche? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 883 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 11:46: |
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Hi, auch hier habe ich ein Ergebniss, bitte prüfen! Wenns stimmt, gibts heute noch den Weg! Das gesuchte Dreieck hat die Eckpunkte: ( a | 0 ) , ( b | 0 ) und ( a/sqrt(5) | 2*b/sqrt(5) ) Die maximale Fläche ist dann F = 0,5 * [ (3-sqrt(5))/sqrt(5) ] * ab ~ 1,3666*ab mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2643 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 12:51: |
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Hi Ferdi,20.09.13:51 Bei meiner Lösung tritt keine „Wurzel aus 5“ auf sondern „Wurzel 2“. Diesmal geht es nicht nach dem goldenen Schnitt. Das Stichwort wäre eher „konjugierte Durchmesser“. Aber man kann sich irren. Ich werde nachrechnen. Jedenfalls ist derjenige Punkt auf dem Ellipsenquadrant zu suchen, in welchem die Tangente mit Berührpunkt T parallel zur Sehne A(a/0) B(0/b) verläuft. Der Halbmesser OT ist dann konjugiert zur Richtung der Sehne AB. Weiterhin viel Spaß H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 884 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 14:30: |
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Hi megamath, du hast recht ein dummer Rechenfehler meinersteits! Das Dreieck lautet dann: (a|0) , (0|b) und (a/sqrt(2)|b/sqrt(2)). Der Maximale Flächeninhalt betragt dann: F = (1/2) * (sqrt(2)-1) * a * b ! Ich bin die Sache aber ganz anders angegangen, ganz nach dem Motto: Chacun a son goût ! Ich habe die Dreiecksflächenformel (1/2)*g*h genommen! g ist die Grundseite, die Strecke zwischen A und B also g = sqrt (a^2 + b^2) h die Höhe ist der Abstand des Punktes T (u|v) auf dem Ellipsenbogen zu der Geraden durch A und B. Nach Ludwig Otto Hesse ergibt sich: ( bu + av -ab )/sqrt(a^2 + b^2) = 0 nun alles einsetzen, die Wurzel hebt sich Weg! F = 0,5 * ( bu + av - ab) Nun zu u und v. T ist ein laufender Punkt auf dem oberen Ellipsenhalbbogen, also u=x und v=(b/a)*sqrt(a^2-x^2) Wir erhalten unsere Zielfunktion: (1/2) * (bx + b*sqrt(a^2-x^2) -ab) mit den bekannten Extrema! Bei letzterer Rechung hat sich bei mir der Fehler eingeschlichen! mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 874 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 17:24: |
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Wozu duch Herr Hesse gut ist.... gruß Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2652 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 18:01: |
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Hi Ferdi,20.09.19:00 Jetzt hat´s geklappt,nicht nur wegen Hesse. Danke! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2668 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 12:40: |
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Hi Ferdi,22.09.13:40 Eine Schlussbemerkung, im Hinblick auf diejenigen Leser, die sich über Hesse mokieren oder sogar unter einer Hesse-Phobie leiden; so etwas soll´s geben. Man kann die Fläche des involvierten Dreiecks ATB, durch die Koordinaten der Ecken bekanntlich auch mit einer dreireihigen Determinante D ausdrücken. In unserem (extremalen) Fall treten die folgenden Koordinaten auf: xA = a, yA = 0 ; xT = a/wurzel(2) , yT = b/wurzel(2) ; xB = 0 , yB = b. Die Determinante lautet demnach: D = ([[a,0,1],[a/wurzel(2), b/wurzel(2), 1],[0,b,1]]) Schreibweise: Zeile um Zeile wie bei Maple. Für die Fläche kommt: F = ½ D = ½ [wurzel(2)-1] ab °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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