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Dreiecksaufgabe 53: Extremalaufgabe 2

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2636
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 18:07:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Bei der Dreiecksaufgabe 53 ist ein weiteres
Extremalproblem zu lösen.
In einem cartesischen Koordinatensystem ist ein
gleichschenkliges Dreieck ABC gegeben:
A(- a / 0), B(a / 0), C(0 / h).
Diesem Dreieck ist eine Ellipse mit dem
kleinsten Flächenihalt umzubeschreiben
(die Ellipse ist symmetrisch zur y-Achse und geht
durch alle Ecken des Dreiecks).
Welches sind die Halbachsen einer solchen Ellipse?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 245
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 07:25:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Wie so oft stehe ich bei komplizierteren Extremwertaufgaben auf dem Schlauch.
Wenn man erstmal die Zielfunktion hat,ist es natürlich leicht.Daran scheiterts aber
häufig bei mir.
Mein Ansatz:

u,v sind die Halbachsen

Da Symmetrie zur y-Achse => x0=0

Ellipsengleichung:

v^2*x^2+u^2*(y-y0)^2=u^2*v^2

Mit A(-a|0) oder B(a|0) erhält man

1) y0^2*u^2+a^2*v^2=u^2*v^2

Mit C(0|h) erhält man

2) (h-yo)^2=v^2

Die Fläche der Ellipse ist

A=pi*u*v

Dies habe ich quadriert,um mit 1) und 2) dann einfacher die Zielfunktion herleiten zu können:

A^2=pi^2*u^2*v^2

Ist der Ansatz zu retten?
Ich habe zwar schon weitergerechnet,habe aber eigenartige Ergebnisse herausbekommen.


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2639
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 09:13:   Beitrag drucken

Hi Olaf,20.09.10:13

Dein Ansatz sollte zu retten sein.
Ich gehe der Sache heute noch nach.
Vielleicht ist es gut, wenn ich das Resultat
schon im Voraus bekannt gebe:

Der Mittelpunkt der Ellipse,
welche minimale Fläche besitzt,
fällt mit dem Schwerpunkt des Dreiecks zusammen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 246
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 09:31:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich danke Dir!Dann kann ich es ja nochmal damit versuchen,viellicht habe ich mich ja
nur verrechnet.
Heute abend gehts dann auch von meiner Seite aus weiter.

Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2640
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 09:55:   Beitrag drucken

Hi Olaf,20.09.10:55

ich bin mit Deinem Ansatz locker durch das Gestrüpp gerobbt!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Nummer des Beitrags: 247
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 19:17:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich muß leider passen.Die Lösung der Aufgabe gelingt mir nicht.

Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2655
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 20:24:   Beitrag drucken

Hi Olaf,20.09.21:24

Das kann passieren! Es fehlt noch an der Uebung.
Ich werde Dir heute noch meien Lösung präsentieren.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2656
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 20:37:   Beitrag drucken


Hi Olaf,20.09.21:37

Ich stelle Stationen auf dem Weg zum Ziel,
das man mit Deinem Ansatz leicht (?) erreicht,
zusammen.

Ich übernehme Deine Bezeichnungen mit einer einzigen
Ausnahme:
Statt yo schreibe ich t; dies ist die variable Ordinate
des Mittelpunktes der Ellipsen.
Ich beabsichtige, v als unabhängige Variable zu benützen.


Gleichungen für u und v:
v^2 a^2 + u^2 t^2 = u^2 v^2…………………(1)
(h – t ) ^ 2 = v^2, daraus sofort: t = h – v………..(2)
(2) ist auch anschaulich sofort einleuchtend.

Es folgt:
u^2 = a^2 v^2 / (v^2 - t^2) ……………………..(3)

Das Flächenquadrat ist proportional zu u^2 * v^2,

Berechne diesen Term und substituiere t = h – v.
Daher untersuchen wir die Funktion

g(v) = v ^ 4 / [ 2 h v – h ^ 2 ], Ableitung
g´ (v) = [(2 h v – h^2)* 4 v^3 – 2 h v^4] / [2 h v – h^2]^2
relevante Nullstelle von g´(v) ist
v = 2 h / 3 ; hihi
Der Mittelpunkt der Ellipse liegt, wie vorausgesagt (!),
im Schwerpunkt des Dreiecks,und das ist bemerkenswert.

Mit bestem Dank für Deine Bemühungen.

und freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 248
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 20:54:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Vielen Dank,daß Du mir noch heute die Lösung präsentiert hast.Diese Aufgabe hätte mich wohl
sonst um meinen Schlaf gebracht:-).

Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2657
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 21:00:   Beitrag drucken

Hi Olaf,20.09.22:00

Die Funktion als Sandmännchen ist
mir an sich fremd und ungewohnt.
Es freut mich, dass ich Dir habe helfen können.

MfG
H.R.Moser,megamath

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