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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2636 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 18:07: |
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Hi allerseits Bei der Dreiecksaufgabe 53 ist ein weiteres Extremalproblem zu lösen. In einem cartesischen Koordinatensystem ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC gegeben: A(- a / 0), B(a / 0), C(0 / h). Diesem Dreieck ist eine Ellipse mit dem kleinsten Flächenihalt umzubeschreiben (die Ellipse ist symmetrisch zur y-Achse und geht durch alle Ecken des Dreiecks). Welches sind die Halbachsen einer solchen Ellipse? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 245 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 07:25: |
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Hi Megamath, Wie so oft stehe ich bei komplizierteren Extremwertaufgaben auf dem Schlauch. Wenn man erstmal die Zielfunktion hat,ist es natürlich leicht.Daran scheiterts aber häufig bei mir. Mein Ansatz: u,v sind die Halbachsen Da Symmetrie zur y-Achse => x0=0 Ellipsengleichung: v^2*x^2+u^2*(y-y0)^2=u^2*v^2 Mit A(-a|0) oder B(a|0) erhält man 1) y0^2*u^2+a^2*v^2=u^2*v^2 Mit C(0|h) erhält man 2) (h-yo)^2=v^2 Die Fläche der Ellipse ist A=pi*u*v Dies habe ich quadriert,um mit 1) und 2) dann einfacher die Zielfunktion herleiten zu können: A^2=pi^2*u^2*v^2 Ist der Ansatz zu retten? Ich habe zwar schon weitergerechnet,habe aber eigenartige Ergebnisse herausbekommen. Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2639 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 09:13: |
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Hi Olaf,20.09.10:13 Dein Ansatz sollte zu retten sein. Ich gehe der Sache heute noch nach. Vielleicht ist es gut, wenn ich das Resultat schon im Voraus bekannt gebe: Der Mittelpunkt der Ellipse, welche minimale Fläche besitzt, fällt mit dem Schwerpunkt des Dreiecks zusammen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 246 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 09:31: |
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Hi Megamath, Ich danke Dir!Dann kann ich es ja nochmal damit versuchen,viellicht habe ich mich ja nur verrechnet. Heute abend gehts dann auch von meiner Seite aus weiter. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2640 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 09:55: |
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Hi Olaf,20.09.10:55 ich bin mit Deinem Ansatz locker durch das Gestrüpp gerobbt! MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 247 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 19:17: |
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Hi Megamath, Ich muß leider passen.Die Lösung der Aufgabe gelingt mir nicht. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2655 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 20:24: |
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Hi Olaf,20.09.21:24 Das kann passieren! Es fehlt noch an der Uebung. Ich werde Dir heute noch meien Lösung präsentieren. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2656 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 20:37: |
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Hi Olaf,20.09.21:37 Ich stelle Stationen auf dem Weg zum Ziel, das man mit Deinem Ansatz leicht (?) erreicht, zusammen. Ich übernehme Deine Bezeichnungen mit einer einzigen Ausnahme: Statt yo schreibe ich t; dies ist die variable Ordinate des Mittelpunktes der Ellipsen. Ich beabsichtige, v als unabhängige Variable zu benützen. Gleichungen für u und v: v^2 a^2 + u^2 t^2 = u^2 v^2…………………(1) (h – t ) ^ 2 = v^2, daraus sofort: t = h – v………..(2) (2) ist auch anschaulich sofort einleuchtend. Es folgt: u^2 = a^2 v^2 / (v^2 - t^2) ……………………..(3) Das Flächenquadrat ist proportional zu u^2 * v^2, Berechne diesen Term und substituiere t = h – v. Daher untersuchen wir die Funktion g(v) = v ^ 4 / [ 2 h v – h ^ 2 ], Ableitung g´ (v) = [(2 h v – h^2)* 4 v^3 – 2 h v^4] / [2 h v – h^2]^2 relevante Nullstelle von g´(v) ist v = 2 h / 3 ; hihi Der Mittelpunkt der Ellipse liegt, wie vorausgesagt (!), im Schwerpunkt des Dreiecks,und das ist bemerkenswert. Mit bestem Dank für Deine Bemühungen. und freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 248 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 20:54: |
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Hi Megamath, Vielen Dank,daß Du mir noch heute die Lösung präsentiert hast.Diese Aufgabe hätte mich wohl sonst um meinen Schlaf gebracht. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2657 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 21:00: |
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Hi Olaf,20.09.22:00 Die Funktion als Sandmännchen ist mir an sich fremd und ungewohnt. Es freut mich, dass ich Dir habe helfen können. MfG H.R.Moser,megamath |