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vena (vena)
Neues Mitglied
Benutzername: vena
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 17:51: | 
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Hallo
Kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären. Ich bin total verzweifelt, ich verstehe absolut gar nichts
Es wär echt hilfreich, wenn mir jemand die einzelnen Schritte erklärt.
f(x) = 3x² +2; Intervall (0/1); delta x= 1/n
Un= 1/n (f (0) + f (1/n)+ f(2/n) +f(3/n)…+ f(n-1/n)
= 1/n (2+ [3 (1/n)²+ 2]+… [3 (1-n/n)²+ 2]
= 2n + 3 ([( 1/n)²+ (2/n)²+... (n-1/n)²])
= 2n+ 3/n (1²+ 2²+ 3²...+(n-1)²)
Un = 1/n* (2n+ 3/(n²) 1/6 (n-1)* (n)* (2n-1)+ 1))
= 1/n (2n+3/(n²) * 1/6 * (n-1)* n* (2n-1))
= 2+ ½ ((n-1)* (2n-1))/ n²
à lim = 2+ 1/2* ((n-1)* (2n-1))/ n²
n-> unendlich
= 2+ 1/2 *1 *2
= 3
On= 2+ ½* ((n+1)* (2* n+ 1)/ n²)
à lim =2+ 1/2* 1*2
n-> unendlich
= 3
Danke Vena
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Beatrice (jule_h)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jule_h
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 10:24: |
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Hallo Vena,
offenbar handelt es sich um die Herleitung der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall von 0 bis 1. Dazu wird zunächst das Intervall in n gleiche Teile geteilt, jedes ist also 1/n lang. Wenn du nun in jedem Teilpunkt eine Senkrechte einzeichnest bildest du unter dem Graphen eine Treppe aus lauter Rechtecken der Breite 1/n . Die Höhe jedes Rechtecks ist der Funtionswert des linken Randpunkts, also beim ersten Rechteck f(0), beim zweiten f(1/n) und so weiter. Wenn du alle diese Flächeninhalte addierst erhältst du den Inhalt dieser „Untertreppe“. Nun scheinen sich bei dir einige (Abschreibe?)fehler eingeschlichen zu haben. Richtig ist noch die Zeile 1/n (2+ [3 (1/n)²+ 2]+… [3 (1-n/n)²+ 2] wobei ich anstatt 1-n lieber n-1 schreiben würde ( was mathematisch ja egal ist weil es quadriert wird). Jetzt addiere ich erst mal alle 2er in der Klammer, das sind n Stück, also ergibt das 2n. Somit heißt der Term 1/n(2n+[3(1/n)²+...+3(n-1/n)²]). Aus der eckigen Klammer kann ich 3/n² ausklammern. Wenn ich dann noch den Faktor 1/n reinmultipliziere erhalte ich 2+3/n³[1²+2²+...+(n-1)²]. Es gibt eine Formel, nach der man den Term 1²+2²+3²+...+n² ersetzen kann durch den Quotienten 1/6n(n+1)(2n+1). Nun geht bei uns die Summe in der Klammer ja nicht bis n sondern nur bis n-1, also muss ich in der Formel anstelle von n n-1 schreiben, dann heißt der Quotient 1/6(n-1)n(2n-2+1)=1/6n(n-1)(2n-1). Den baue ich jetzt in unseren Term eine und es ergibt sich 2+3/n³*1/6n(n-1)(2n-1) = 2+(n-1)(2n-1)/(2n²). Wenn du nun n gegen unendlich gehen lässt geht dieser Term gegen 3. (Wenn du den Zähler ausmultiplizierst kannst du den Bruch aufteilen in 1 + (1-3n)/(2n²), der Restbruch geht gegen 0).
Klar??
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vena (vena)
Neues Mitglied
Benutzername: vena
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 22:05: |
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Vielen Dank Beatrice  |
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