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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2483
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 07:13: | 
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Hi allerseits,
Die Serie der Vierecksaufgaben VA soll fortgesetzt werden.
Es ist die Nr. VA 20 an der Reihe.
Sie bezieht sich auf eine wenig bekannte Formel der ebenen
Trigonometrie des Vierecks, genannt Formel I
Es gelten die üblichen Bezeichnungen des Vierecks ABCD:
Seiten AB = a , BC = b , CD = c , DA = b
Innenwinkel bei A,B, C, D: alpha, beta, gamma, delta
Benötigt wird noch der halbe Umfang s:
s = ½ ( a + b + c + d ) und die daraus abgeleiteten Formen
sa = ½ (- a + b + c + d )
sb = ½ ( a - b + c + d )
sc = ½ ( a + b - c + d )
sd = ½ ( a + b + c - d )
Das Quadrat des Flächeninhalts F lässt sich durch die vier
Seiten und die Winkel beta und delta wie folgt ausdrücken:
Formel I:
F ^ 2 = sa sb sc sd – a b c d [cos(½(beta +delta)] ^ 2
Aufgabe
a)
Überprüfe die Formel bei einem allgemeinen Rhombus
mit der Seitenlänge a und dem Innenwinkel alpha bei A.
b)
Welcher bekannte (?) Satz über ein Extremum bei Vierecken
kann aus der Formel unmittelbar abgelesen werden ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 846
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 11:29: |
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Hallo Megamath,
Frage b) ist leicht zu beantworten:
Soll die Fläche eines Vierecks Maximal sein, so müssen alle vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen! D.h. ein Sehnenviereck bilden.
Begründung:
Nur im Sehnenviereck ist die Summer zweier gegenüberligender Winkel glich 180° ist. Dies hat zur Folge das der Subtrahent in der Flächenformel verschwindet- also Null wird.
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2484
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 12:51: |
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Hi Niels,
Richtig,
so ist es gemeint!*
MfG
H.R.Moser,megaamth |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2485
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 13:46: |
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Hi allerseizs,
Da und dort ist die Frage aufgataucht,was denn exotischen Terme sa, sb, sc, sd bedeuten mögen.
Diese Terme sind gleich am Anfang des Aufgaben-Textes definiert:
Ich schreibe es nochmals, etwas ausführlicher:
Benötigt wird noch der halbe Umfang s des Vierecks
s = ½ ( a + b + c + d ) und die daraus abgeleiteten Formen
sa = s - a = ½ (- a + b + c + d )
sb = s - b = ½ ( a - b + c + d )
sc = s – c = ½ ( a + b - c + d )
sd = s – d = ½ ( a + b + c - d )
sa, sb, sc treten in der Formel von Heron für die Dreiecksfläche ebenfalls auf.
Es sind Abkürzungen für die angegebenen Differenzen und keine Produkte !*
MfG
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 847
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 13:59: |
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Hi Megamath,
Der Beweis dieser Formel ist in Umrissen auf Seite 261 in "Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik" zu finden. Ich passe die Umrisse deiner Formel an und vollziehe den Beweis bis an die Stelle nach- an der ich Umformungsprobleme habe.
los gehts:
Wir berechnen die Vierecksfläche als Summe zweier Dreiecksflächen:
Fläche ABCD=Fläche ABC+ Fläche CDA
Av=(1/2)ab*sinß+(1/2)cd*sind
Aus rechentechnischen Gründen berechnen wir nun das 4- Fache der Vierecksfläche:
4Av=2*(ab*sinß+cd*sind)
Nun berechenen wir die Länge der Diagonalen AC=e per Kosinussatz:
e²=a²+b²-2ab*cosß
e²=c²+d²-2cd*cosd
=>
0=a²+b²-c²-d²-2ab*cosß+2cd*cosd
a²+b²-c²-d²=2*(ab*cosß-cd*cosd)
Nun quadriert man eifrig und addiert anschließend:
(4Av)²+(a²+b²-c²-d²)²=4*[(ab*sinß+cd*sind)²+(ab*cosß-cd*cosd)²]
16(Av)²+((a²+b²)-(c²+d²))²=4*[a²b²+c²d²-2abcd*cos(ß+d}]
So, und ab hier verliere ich immer beim umformen den Überblick:
man könnte noch
ß+d=2e setzen und erhilte:
16A²v+((a²+b²)-(c²+d²))²=4*[a²b²+c²d²-2abcd*cos(2e}]
aber die Preisfrage ist doch wie bekommt man in die Formel:
sa = ½ (- a + b + c + d )=(s-a)
sb = ½ ( a - b + c + d ) =(s-b)
sc = ½ ( a + b - c + d ) =(s-c)
sd = ½ ( a + b + c - d ) =(s-d)
eingeflochten....
mfg
Niels
ps: eine andere Art der Herleitung kenne ich nicht. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2486
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 14:58: |
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Hi Niels,
Ich bin schon von anderer Seite gebeten worden, diese Formel I (nomen est omen !) herzuleiten.
Ich werde das tun, sobald ich die Zeit dazu aufbringe.
Ich hoffe,dass es morgen soweit sein wird.
Die Rechnung ist etwas abenteuerlich, aber lehrreich,und das ist schliesslich die Hauptsache.
Wenn man souverän und konsequent bleibt,
kommt man zum Ziel und die sa,sb,sc,sd stehen dort,wo sie sollen.
Jedenfalls bin ich Dir dankbar,dass Du die Angelegenheit ins Rollen gebracht und einen guten
Beginn gesetzt hast.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 848
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 15:39: |
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Hi Megamath,
ich freue mich schon auf deinem Beweis, wäre echt klasse wenn du das Morgen hinbekämst. Das wäre dann praktisch ein Tolles Geburtstagsgeschenk an deinerseits an mich!
Ich habe morgen nämlich Geburtstag!
in freudiger Erwartung
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2487
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 16:17: |
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Hi Niels,
Ich habe die Herleitung schon bereit !*
Soll ich bis morgen warten?
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 849
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 16:46: |
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Hi Megamath,
das ist deine Entscheidung,
da ich aber morgen wohl kaum Zeit habe mich mit Mathematik zu beschäftigen würde ich es begrüßen wenn du heute schon die Herleitung veröffentlichst.
Dann feiere ich eben rein!
mfg
Niels
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2488
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 16:50: |
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Hi Niels,
Es ist mir gelungen, mich vor andern Aufgaben zu drücken
und heute schon diese raffinierte (!*)Herleitung zu notieren.
Deine Berechnungen sind alle gut brauchbar.
Ich bin ganz analog vorgegangen und doch….
Im Folgenden bedeutet F die Fläche des Vierecks ABCD.
M ist eine Abkürzung; Bedeutung:
M = a^2 + b^2 – c^2 – d^2
M wie Mohr, der bald abtreten wird.
(„der Mohr hat seine Schuldigkeit getan, der Mohr kann gehen“,
Schiller, Verschwörung des Fiesco zu Genua).
cos (beta + delta) habe ich durch
2 [cos ( ½ (beta + delta) ] ^ 2 – 1 ersetzt.
Differenzen zweier Quadrate werden konsequent faktorisiert.
(als Produkt der Basen mal Differenz der Basen geschrieben, hihi).
Wo setze ich ein?
Hic:
M ^ 2 + 16 F^2 = 4 a^2 b^2+4 c^2 d^2 - 8 a b c d cos (beta + delta)
= 4 a^2 b^2+4 c^2 d^2 – 8 a b c d { 2 [cos ( ½ (beta + delta) ] ^ 2 – 1}
= {2 a b + 2 c d }^ 2 - 16 a b c d [cos (½(beta + delta)] ^ 2, mithin:
16 F^2 = [(2ab+2cd)^2 - M^2] - 16 a b c d [cos (½(beta + delta)] ^ 2 =
= (2ab + 2cd + M ) ( 2ab + 2cd - M) - 16 a b c d [cos (½(beta + delta)] ^ 2
Nota bene
(ein Höhepunkt nach dem andern setzt ein, unerbittlich, hihi):
2ab + 2cd + M = (a+b)^2 – (c-d)^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
= 2 sd * 2 sc = 4 sc sd
2ab + 2cd - M = (c+d)^2 – (a-b)^2 = (c+d+a-b)(c+d-a+b)
= 2 sb * 2 sa = 4 sa sb
Dies setzen wir voller Hoffnung ein; es kommt:
16 F^2 = 16 sa sb sc sd - 16 a b c d [cos (½(beta + delta)] ^ 2
Hebe 16 weg und Du bist am Ziel und kannst unbeschwert
Geburtstag feiern!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2489
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 17:01: |
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Hi allerseits,
Die VA 20 soll zu einem guten Abschluss gelangen,
bevor VA 21 erscheint.
Daher löse ich die Teilaufgabe a) und füge noch
eine Bemerkung zu b) an.
Zu a)
Für einen Rhombus mit der Seite a und dem Innenwinkel
alpha bei A gilt:
beta = delta = 180° - alpha
F = a ^ 2 sin (alpha), ferner
s = 2 a , sa = sb = sc = sd = a
Die linke Seite L in der Formel I lautet
L = a^4 [sin(alpha)]^2
Die rechte Seite R.
R =a ^4 – a^4*[cos (beta)]^2 = a^4 [sin(alpha)]^ 2= L
was zu zeigen war.
Zu b)
Der Satz lautet:
Unter allen Vierecken mit denselben Seiten hat das Sehnenviereck
den größten Flächeninhalt.
Für ein solches Viereck gilt bekanntlich:
beta + delta = 180°, ½(beta +delta) = 90° und
cos(½(beta +delta) = 0 , sodass für F ^ 2 nur der erste Term
sa sb sc sd übrigbleibt, der dann gerade das Maximum von
F ^ 2 darstellt.
Eine sehr schöne Beweismöglichkeit des Satzes.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 851
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 20:50: |
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Hi Megamath,
dein Beweis ist wirklich fabelhaft und dank der Substitution sehr klar struckturiert und einleuchtent. Gratuliere!
Dieser Beweis kommt garantiert in das Buch an dem Ferdi und ich immer noch arbeiten!!
also, wie gesagt, Morgen pausiere ich dann mal und feiere erstmal meinen 20. Geburtstag!
und ab Donnerstag bin ich wieder Aktiv!
mfg
Niels
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