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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2480
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. August, 2003 - 11:13: | 
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Hi allerseits,
 
zum Abschluss der Vierecksaufgaben dieser Serie
präsentiere ich eine Stereometrieaufgabe aus einem
„Lehrbuch der Körperberechnungen“ aus dem Jahr 1886.
Der Originaltext lautet:
Aufgabe 7o1
Ein Prismatoid, bezw. ein sog. Antiobelisk mit der Höhe H
hat zur einen Grundfläche eine Raute und zur andern
Grundfläche ein Rechteck, dessen Seiten parallel den
Diagonalen jener Raute, halb so lang als diese und
bezw. == m und n sind.
Welches ist das Volumen dieses Prismatoids, wenn
sämtliche Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke, bezw.
wenn sämtliche Seitenkanten gleich lang sind?
Erklärungen
Raute : Rhombus
Unter einem Obelisk versteht man ein Prismatoid, dessen
parallele Grundflächen Polygone von gleicher Seitenzahl
und dessen Grundkanten paarweise parallel sind.
Unter einem Antiobelisken versteht man ein Prismatoid,
dessen parallele Grundflächen Polygone von gleicher
Seitenzahl sind, dessen Grundkanten aber nicht wie bei dem
Obelisk parallel sind, sondern irgend eine andere bestimmte
Lage zu einander haben.
Volumenformel für ein Prismatoid:
V = H / 6 ( G + 4 M + D )
G: Inhalt der Grundfläche
D: Inhalt der Deckfläche
M: Inhalt des Mittelschnitts (mittlere Durchschnittsfigur)
Schnittfläche parallel zu G in halber Höhe (½ H).
Viel Erfolg bei der Lösung !
Dieser Erfolg hängt davon ab, ob man sich von der räumlichen
Situation eine genaue Vorstellung machen kann.
Eine Skizze in schiefer Parallelprojektion oder analoge Mittel
können hilfreich sein,auch PC-Zeichnungen.
Besonderes Augenmerk ist auf die Struktur und auf die Abmessungen
des Mittelschnittes zu richten
(Zerlegung in ein Rechteck und zwei kongruente Trapeze).
Jedenfalls fördert eine intensive Beschäftigung mit einer solchen
Aufgabe das räumliche Vorstellungsvermögen.
Nützlich ist auch die Abzählung der Eckenzahl e, der Kantenzahl k
und der Flächenzahl f ; es gilt e = 8 , k = 16, f = 10 und der Eulersche
Polyedersatz e – k + f = 2 ist bestens erfüllt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2482
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 06:49: |
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Hi allerseits
Kurzlösung der Vierecksaufgabe 122.
Grundfläche G, ein Rhombus mit den Diagonalen
e = 2 m, f = = 2 n, somit
G = ½ e f = 2 m n
Deckfläche D, ein Rechteck mit den Seiten
a = m , b = n,
daraus
D = m n
Mittelschnitt M, ein nicht reguläres Achteck,
bestehend aus einem Rechteck R
und zwei kongruenten Trapezen T1, T2.
R: Seiten 3/2 m (Mittellinie in einem vertikalen Trapez)
und ½ n, daher
R = ¾ m n
T1,T2:
Parallelseiten p = 3/2 m , q = ½ m , Höhe ½ n, somit
T1 = T2 = ½ m n
Zusammen:
M = R + T1 + T2 = ¾ m n + m n = 7/4 m n , mithin
4 M = 7 m n
Für das gesuchte Volumen erhalten wir:
V = H / 6 (m n + 7 m n + 2 m n ) = 5 / 3 m n H.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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