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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2426
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 07:13: | 
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Hi allerseits,
Die Vierecksaufgabe 107 bezieht sich wiederum auf
die perspektiv affine Abbildung einer Ebene auf sich
Die Aufgabe lautet:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Punkte
M(6/-8) und M´(2/4) gegeben. M´ ist der Bildpunkt von M
(Bildchen M´ von M) bei einer perspektiv affinen Abbildung
der Koordinatenebene auf sich, wobei die x-Achse
Affinitätsachse ist.
Gesucht werden zwei Geraden a und b durch M,
die aufeinander senkrecht stehen; die Bilder a´ und b´
dieser Geraden sollen ebenfalls aufeinander senkrecht stehen
(invarianten Rechtwinkelpaares bei M und M´).
Ermittle die Gleichungen von a und b
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 831
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 12:00: |
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Hi megamath,
hier nur mein Vorschlag: Die Steiguzng von a und b hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Ich komme am Ende meiner Berechungen auf die Quadratische Gleichung:
m ^ 2 + m -1 = 0
mit m=(Ö5-1)/2 und m=-(Ö5+1)/2
woraus man ja sofrt erkennen kann das gilt:
m1 * m2 = -1
Lösungweg folgt später, wenn das Ergebniss stimmen sollte!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2429
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 12:51: |
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Hi Ferdi,
Dein Ergebnis stimmt, bravo!
Es stellt sich nun die Frage, ob das immer so ist, dass bei den gesuchten
Steigungen die Teilung nach dem Goldenen Schnitt hineinspielt,
oder ob vielleicht der Aufgabensteller solches mit voller Absicht und mit
Hintergedanken durch eine besonders geschickte Wahl des numerischen
Beispiels es so eingerichtet hat.
Derselbe Aufgabensteller hat in einem andern Gremium über 100
Aufgaben gestellt und gelöst, bei denen der goldene Schnitt
vordergründig oder hintergründig eine Rolle spielte.
Es gab dazu sogar einen besonderen Kalkül, der das Rechnen mit den
Termen ½ (sqrt(5) – 1) und ½ (sqrt(5) +1) besonders erleichterte.
Bei solchen Unternehmungen steht die Absicht, das Wollen und Können
im Vordergrund; manchmal gelingt es aber nicht!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 832
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 13:39: |
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Hi,
hier mein Lösungsweg:
a geht durch M und hat die Steigung m1!
b geht durch M und hat die Steigung m2!
Es muss gelten m1 * m2 = -1
daher m2 = -1/m1
a: y = m1*x - (8 + 6*m1)
b: y = -x/m1 + (6/m1 - 8)
a und a' scneiden sich genau wie b und b' auf der Affinitätsachse, daher berechne ich ihre Nullstellen:
NST a : [ (8/m1 + 6) | 0 ]
NST b : [ (6 - 8*m1) | 0 ]
a' muss nun also durch die Nullstelle gehen und durch M' da sich a' und b' dort schneiden! Ich berechne also die Steigungen von a' und b' mit den beiden Punkten!
ma' = -m1/(m1 + 2)
mb' = -1/(1 - 2*m1)
nun fordere ich auch hier ma' * mb' = -1 und berechne aus der resultierenden Gleichung m1!
Ich erhalt die quadratische Gleichung:
m ^ 2 + m - 1 = 0
welche die einschlägig bekannten Lösungen besitzt!
mfg
PS Der Thaleskreis über den beiden Nullstellen lautet hier: (x-10)^2 + y^2 =80, d.h M( 10 | 0 ) und r = 4*Ö(5)!
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