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Tangente

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Sonstiges » Tangente « Zurück Vor »

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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 13:23:   Beitrag drucken

fa(x)= (x^3-a*x^2)/(x-1)
f´a(x)= (2*x^3-(a+3)*x^2+2ax)/(x-1)^2
Bestimmen Sie die Funktion der Schar, deren Graph mehr als eine waagerechte Tangente besitzt.
Brauche Hilfe, danke!!!
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Klaus (kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 480
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 14:36:   Beitrag drucken

Hi

Die 1.Ableitung stimmt

f'(x) muss 0 werden, wenn eine waagrechte Tangente vorliegt
-->2x3 + x2*(-3-a) +2ax = 0

x*[2x2 + x*(-3-a) + 2a] = 0

x1 = 0
Der Term in der eckigen Klammer ist ein quadratischer Ausdruck. Die anderen (maximal) 2 Nullstellen kannst du daher ganz leicht berechnen (p-q-Formel, Mitternachtsformel).

Du stößt bei der Berechnung auf die Diskriminante. Wenn diese <0 ist, liegt nur 1 waagrechte Tangente vor. Wenn sie 0 ist, 2. Und wenn sie >0 ist, liegen 3 waagrechte Tangenten vor.

Dies alles gilt nur, wenn x ungleich 1!
MfG Klaus
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 15:03:   Beitrag drucken

hey Klaus, danke soweit, aber eine Frage hab ich noch... was ist eine Diskriminante???
danke, carmen
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1303
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 15:10:   Beitrag drucken

der Radikand der Wurzel in der Lösung einer Quadratischen Gleichung.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

hey danke
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 11:33:   Beitrag drucken

Jetzt habe ich noch eine Frage an Klaus (oder auch jemand anderen, der die beantworten kann) und zwar: wie lauten die Nullstellen der eckigen Klammer?? ich kann sie nicht berechnen
die P/q Formel kenne ich, doch ich weiß nicht, wie ich sie hier anwenden soll, da da noch das Parameter a vorhanden ist. und die Mitternachtsformel kenne ich ned :-(
Suche so schnell wie möglich Hilfe!!
Dankeeeeee
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1306
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 11:48:   Beitrag drucken

[2x² + x*(-3-a) + 2a] = 0

x² - x*(a+3)/2 + a = 0; p = -(a+3)/2, q = a

x = -p/2 ±Wurzel(p²/4 - q)

"Mitternachtsformel" synonym für p/q Formel,
Lösung der Qad.Gl. x² + px + q = 0
(
soll man Mitternachts aus dem Schlaf gerissen
wie aus der Pistole geschossen hersagen können
)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 14:54:   Beitrag drucken

hallo, die Auflösung habe ich verstanden und auch die Zuordnung von p und q, aber ich schaff es nicht, für x ein ergebnis zu bekommen???
Könnte mir das jemand ausrechen und dann auch gleich diese komische Diskriminante benennen, damit ich entscheiden kann, wieviele waagerechte Tangenten vorliegen??
Bitte um Hilfe!! DANKE
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 215
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 16:06:   Beitrag drucken

von Friedrich Laher :
x² - x*(a+3)/2 + a = 0; p = -(a+3)/2, q = a
x = -p/2 ±Wurzel(p²/4 - q)

Einsetzen :
x = (a+3)/4 ± Wurzel((a+3)²/16 - a)

Es soll mindestens noch eine Lösung geben. Also darf die Diskriminante nicht negativ sein.

Mit Diskriminante ist der Term in der Wurzel gemeint.

(a+3)²/16 - a ³ 0
(a+3)² ³ 16a
a² + 6a + 9 ³ 16a
a² - 10a + 9 ³ 0

Kommst du klar mit quadratischen Ungleichungen ?

Komischerweise hast du ganz am Anfang geschrieben "Bestimme die Funktion der Schar". Jetzt kommt aber nicht nur eine Funktion heraus, sondern unendlich viele, nämlich alle mit
a £ 1 oder a ³ 9 wenn ich mich nicht verrechnet habe.
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 17:13:   Beitrag drucken

mit quadratischen Ungleichungen komme ich nicht so gut klar..
gibt es jetzt kein richtiges Ergebnis, d.h. eine funktion???
wieso alle mit a<1 und a>9??
danke für deine Hilfe
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2374
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 17:16:   Beitrag drucken

Hi Georg,


Alles ok mit zwei Ausnahmen:
die a-Werte
1 und 9 sollten ausgelassen werden.

MfG
H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2375
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 17:38:   Beitrag drucken

Hi Carmen,

Doch,es gibt sogar unendlich viele Funktionen.
Soll ich es Dir zeigen ?
Setze für den so genannten Paramter a
Werte ein,die kleiner 1 oder grösser 9 sind.
Zu jedem solchen a-Wert gehört genau eine Funktion der gesuchten Art.
Das ist das eigentliche Ergebnis,hihi.
Bezüglich der quadratischen Ungleichung: zerlege
a^2 - 10 a + 9 in Linearfaktoren
Resultat a^2 - 10 a + 9 = (a-1*(a-9)
Dieses Produkt wird positiv,wenn beide Faktoren positiv oder beide negativ sind
voilà

MfG
H.R.Moser,megamath
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 218
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 18:29:   Beitrag drucken

Hi megamath, kann sein, dass ich den Vorspann zu schlampig gelesen habe. Ich bin vom 2. Beitrag ausgegangen, wo Klaus schon eine Tangente gefunden hatte. Und weil die Aufgabenstellung im ersten Beitrag auf mehr als eine Tangente lautet, habe ich mich mit mindestens einer weiteren zufrieden gegeben. Bei zwei weiteren wäre ich mit dir einig.
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 09:32:   Beitrag drucken

Danke ihr beiden für eure Hilfe!
Bleibt noch eine frage und zwar schreibst du, megamath,
die a-Werte
1 und 9 sollten ausgelassen werden.Wieso???
Klaus meinte doch, wenn die Diskriminante 0 ist, liegen zwei Tangenten vor und das würde doch schon laut Aufgabenstellung reichen oder habe ich etwas falsch verstanden?
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 481
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 11:01:   Beitrag drucken

Hi,

da ich jetzt nicht alles nachrechne, was die anderen gemacht werden, gilt diese Aussage nur unter Vorbehalt:

Wenn a = 1 oder a = 9, dann ist die Diskriminante gleich Null. Dann gibt es exakt 1 weitere Lösung. Es gibt dann also 2 Tangeten. Wenn a Werte ungleich 1 oder 9 annimmt, gibt es 2 weitere Lösungen, also insgesamt 3 Tangenten.


MfG Klaus
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 11:20:   Beitrag drucken

ja, so habe ich das auch verstanden, aber dann kann doch a = 1 oder 9 sein, weil dann hätte ich 2 Tangenten und das ist doch mehr als eine !!???
Hilfeee
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2382
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 11:43:   Beitrag drucken

Hi carmen,

ich nehme die Schuld der Verwirrung auf mich:
Ich hatte den Aufgabentext in meinem Kopf zu früh gelöscht.Georg und Klaus haben unterdessen alles
geklärt

MfG
H.R.Moser,megamath
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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 13:20:   Beitrag drucken

okay also kann jetzt a doch 1 oder 9 sein, damit wäre ja alles geklärt
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 482
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 15:42:   Beitrag drucken

Ja, a kann auch 1 oder 9 sein.


MfG Klaus

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