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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2351
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 09:31: | 
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Hi allerseits,
Die Dreiecksaufgabe 34 ist eine Ergänzung zur
Dreiecksaufgabe 33 über ein gleichschenkliges
Dreieck.
Gegeben werden die Basis a = AB und die Länge w
der Winkelhalbierenden des Basiswinkels alpha.
Die Schenkellänge sei b = AC
Stelle eine Relation zwischen den drei Grössen
a, b, w auf, und beurteile wiederum die Lösbarkeit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2384
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 12:13: |
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Hi allerseits
Lösung der Dreiecksaufgabe 34.
Die wesentlichen Vorarbeiten wurden
bereits bei der Lösung der Aufgabe 333
geleistet.
Wir übernehmen bei gleich bleibenden
Bezeichnungen die Hauptergebnisse, nämlich:
w / sin(2x) = a / sin (3x )
mit sin 3x = sin x [ 4 (cos x)^2 – 1 ] , mithin
4 w (cos x) ^ 2 - 2 a cos x – w = 0
Lösung (nur eine zählt) :
cos x = 1/(4w) * [ a + sqrt(a^2 + 4 w^2) ]
Man beachte: x stimmt mit ½ alpha überein!
Nimmt man 45 ° als obere Grenze,
so erhält man aus der Gleichung
1/sqrt (2) =1/(4w) * [ a + sqrt(a^2 + 4 w^2) ]
bei der Auflösung nach w den Wert w = a sqrt(2)
Das ist die untere Grenze für w.
Die obere Grenze gewinnen wir, indem wir
cos x = 1 ansetzen, also x = 0 fordern.
Die einschlägige Gleichung lautet:
1=1/(4w) * [ a + sqrt(a^2 + 4 w^2) ],
daraus w = 2 a / 3. als obere Grenze.
Nun aber zur eigentlichen Aufgabe,
die Schenkellänge b ins Spiel zu bringen:
wir rechnen ein wenig; es ist
b = ½ a / cos(2x) oder
a^2 = 4 b^2 (cos 2x ) ^2…………………………..(I)
Die Goniometrie besagt:
( cos 2x ) ^ 2 = 2 (cos x ) ^2 - 1…………………(II)
für (cos x)^2
benützen wir das weiter oben berechnete Resultat:
(cos x ) ^ 2 = {1/(4w) * [ a + sqrt(a^2 + 4 w^2) ] }^2
= 1 / (16 w ^2 ) * [ 2a^2 + 4 w^2 + 2 a sqrt (a^2 + 4w^2)],
mithin nach (II):
(cos 2x)^2 = 1/(4w^2) * [a^2–2 w^2 +a sqrt(a^2+4w^2)]
Das setzen wir in (I) ein; es kommt de gesuchte
Relation:
a^2 w^2 = b^2 * [a^2–2 w^2 +a sqrt(a^2+4w^2)]
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Forderung:
die eckige Klammer muss positive sein!
Das ergibt die bereits bekannten und schon genannten
Bedingungen.
Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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